Negace složených výroků

Víme, že pokud je výrok v nepravdivý, je jeho negace ¬v pravdivá (a naopak) — viz Výrok, negace výroku. Nyní se podíváme na negaci složených výroků.

Negace konjunkce

Hledáme výrok složený z a, b, ¬a, ¬b, který má stejný sloupec pravdivostních hodnot jako ¬(a∧b). V tomto sloupci jsou tři jedničky, což odpovídá disjunkci nebo implikaci dvou výroků; porovnáním se sloupci ¬a, ¬b zjistíme, že hledaným výrokem je ¬a∨¬b.

¬(a∧b)⟺(¬a∨¬b)

Negace disjunkce

Ve sloupci ¬(a∨b) jsou tři nuly a jedna jednička — negací disjunkce tedy může být konjunkce; snadno ověříme, že je to konjunkce ¬a∧¬b.

¬(a∨b)⟺(¬a∧¬b)

Příklad: Utvořte negace výroků:

• u: Číslo 72 je dělitelné dvěma a třemi.
• v: Mozart ani Beethoven nejsou čeští skladatelé.
• w: Válku s mloky napsal K. Čapek nebo A. Jirásek.

Řešení: Výrok u je konjunkce výroků “Číslo 72 je dělitelné 2” a “Číslo 72 je dělitelné 3”. Jeho negace: “Číslo 72 není dělitelné 2 nebo není dělitelné 3.”

Výrok v je konjunkce výroků “Mozart není český skladatel” a “Beethoven není český skladatel” (spojka “ani…ani” = konjunkce dvou negací). Jeho negace: “Mozart je český skladatel nebo Beethoven je český skladatel.”

Výrok w je disjunkce výroků “Válku s mloky napsal K. Čapek” a “Válku s mloky napsal A. Jirásek”. Jeho negace: “Válku s mloky nenapsal ani K. Čapek, ani A. Jirásek.”

Negace implikace

Ve sloupci ¬(a⇒b) jsou tři nuly a jedna jednička — negace implikace by tedy mohla být konjunkce; zjistíme, že je to konjunkce a∧¬b.

¬(a⇒b)⟺(a∧¬b)

Příklad: Utvořte negace výroků:

1. Je-li √2 číslo iracionální, je iracionální i číslo 1+√2.
2. Je-li trojúhelník ABC rovnostranný, pak je rovnoramenný.
3. Není-li číslo 5 přirozené, pak není ani číslo 1.

Řešení:

1. Číslo √2 je iracionální a zároveň číslo 1+√2 není iracionální.
2. Trojúhelník ABC je rovnostranný a zároveň není rovnoramenný.
3. Číslo 5 není přirozené a zároveň číslo 1 je přirozené.

Uvědomte si, že negace implikace není implikace — je to konjunkce!

Negace ekvivalence

V příslušném sloupci jsou dvě nuly a dvě jedničky — negací ekvivalence bude patrně opět ekvivalence. Negací ekvivalence a⇔b je ekvivalence ¬a⇔b (nebo rovnocenně a⇔¬b).

Příklad: Určete negaci výroku “Číslo 158 je dělitelné šesti právě tehdy, když je dělitelné dvěma a třemi.”

Řešení: Výrok je tvaru a⇔(b∧c), kde a = “Číslo 158 je dělitelné šesti”, b = “Číslo 158 je dělitelné dvěma”, c = “Číslo 158 je dělitelné třemi”. Negace této ekvivalence je a⇔¬(b∧c), tedy a⇔(¬b∨¬c): “Číslo 158 je dělitelné šesti právě tehdy, když není dělitelné dvěma nebo není dělitelné třemi.”

Jinou možností je vyslovit výrok ve tvaru ¬a⇔(b∧c): “Číslo 158 není dělitelné šesti právě tehdy, když je dělitelné dvěma a zároveň třemi.”

Shrnutí vzorců

¬(a∧b)=(¬a∨¬b)

¬(a∨b)=(¬a∧¬b)

¬(a⇒b)=(a∧¬b)

¬(a⇔b)=(¬a⇔b)=(a⇔¬b)

Příklady

1. Negujte výroky:

1. Bod B leží na kružnici k nebo na přímce p.
2. Poslední cifra dekadického zápisu čísla 377 není nula ani pětka.
3. Je-li ciferný součet čísla 377 dělitelný třemi, je toto číslo dělitelné třemi.

Výsledek:

• 1) disjunkce → negace je konjunkce negací: “Bod B neleží na kružnici k ani na přímce p.”
• 2) je to už tvar ¬a∧¬b (“není nula ani pětka”) → negace je disjunkce: “Poslední cifra čísla 37⁷ je nula nebo pětka.”
• 3) implikace a⇒b → negace a∧¬b: “Ciferný součet čísla 37⁷ je dělitelný třemi a zároveň toto číslo není dělitelné třemi.”

2. Utvořte negace výroků (symbolicky):

1. a∨¬b
2. a⇒¬b
3. ¬a⇔¬b
4. ¬a∧b
5. ¬a⇒b
6. ¬a∧¬b
7. ¬a∨¬b

Výsledek:

• 1) ¬a∧b
• 2) a∧b
• 3) a⇔¬b (nebo ¬a⇔b)
• 4) a∨¬b
• 5) ¬a∧¬b
• 6) a∨b
• 7) a∧b

3. Utvořte negace výroků (symbolicky, a, b, c jsou libovolné výroky):

1. (a∧b)⇒c
2. a⇒(b∨c)
3. (a∧c)⇔b
4. a⇔(b⇒c)

Výsledek:

• 1) (a∧b)∧¬c, tedy a∧b∧¬c
• 2) a∧¬(b∨c), tedy a∧¬b∧¬c
• 3) ¬(a∧c)⇔b, tedy (¬a∨¬c)⇔b
• 4) ¬a⇔(b⇒c) (nebo a⇔(b∧¬c))

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Negace složených výroků.pdf