Absolutní hodnota

Pozn. k obsahu: Teorie se dochovala celá, cvičení k procvičení v podkladu chyběla — doplněna vlastní, na dochovanou teorii přímo navazující.

Absolutní hodnotu reálného čísla a zapisujeme ∣a∣ a definujeme ji takto:

∣a∣={a−a​je-li a≥0je-li a<0​

Např. pro a=2 je ∣2∣=2; pro a=−2 je ∣−2∣=−(−2)=2.

Pro každé reálné číslo a platí:

√a2=∣a∣

Geometrický význam

Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku. Z toho vyplývá:

1. Pro všechna reálná čísla a je ∣a∣≥0 — vzdálenost je vždy nezáporné číslo.
2. Pro všechna reálná čísla a platí ∣a∣=∣−a∣ — opačné číslo −a má od počátku stejnou vzdálenost jako a.

Vzdálenost obrazů reálných čísel a, b na číselné ose je rovna ∣a−b∣ (resp. ∣b−a∣ — vychází stejně).

Příklady

1. Vypočítejte: ∣7∣, ∣−7∣, ∣0∣, ∣3−8∣, ∣8−3∣.

Výsledek: |7|=7; |-7|=7; |0|=0; |3-8|=|-5|=5; |8-3|=|5|=5

2. Určete vzdálenost obrazů čísel −5 a 3 na číselné ose.

Výsledek: |-5-3| = |-8| = 8 (stejně jako |3-(-5)| = |8| = 8)

3. Řešte rovnici ∣x−3∣=5.

Výsledek: buď x-3=5, nebo x-3=-5 (obě možnosti dávají vzdálenost 5 od bodu 3); x=8 nebo x=-2. Zkouška: |8-3|=5 ✓, |-2-3|=|-5|=5 ✓

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Absolutní hodnota.pdf