Mocninné funkce · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce/grafy vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily (tabulky hodnot byly rozsypané). Text, vzorce, tabulky a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované; všechny hodnoty byly nezávisle přepočítány.

Osnova

a) pojem mocninná funkce, b) rozdělení mocninných funkcí, c) ukázkové příklady, d) příklady na procvičení včetně řešení.

Mocninná funkce

Mocninná funkce je každá funkce ve tvaru $f : y = x n$ , kde $n \in Z ∖ 0$ .

Rozdělení mocninných funkcí

Podle exponentu $n$ rozlišujeme čtyři případy:

a) $n$ je kladné liché číslo — např. $f : y = x 1$ (lineární funkce), $f : y = x 3$ (kubická funkce), $f : y = x 5$ . Grafy těchto funkcí v základním tvaru vždy procházejí bodem $[0; 0]$ .

y = x¹

y = x³

b) $n$ je kladné sudé číslo — např. $f : y = x 2$ (kvadratická funkce), $f : y = x 4$ , $f : y = x 6$ . Grafy těchto funkcí v základním tvaru také procházejí bodem $[0; 0]$ , který je zároveň vrcholem paraboly.

y = x²

y = x⁴

c) $n$ je záporné liché číslo — např. $f : y = x -1 = x 1 $ (nepřímá úměra), $f : y = x -3 = x 3 1 $ , $f : y = x -5$ . Tyto funkce nejsou definované pro $x = 0$ ; grafem jsou vždy dvě hyperboly, proto potřebujeme minimálně šest bodů k jejich sestrojení.

y = x⁻¹ = 1/x

d) $n$ je záporné sudé číslo — např. $f : y = x -2 = x 2 1 $ , $f : y = x -4$ , $f : y = x -6$ . Také nejsou definované pro $x = 0$ a grafem jsou dvě větve (obě nad osou x, protože sudá mocnina ve jmenovateli je vždy kladná).

y = x⁻² = 1/x²

Ukázkový příklad

Sestrojte grafy funkcí $f 1 : y = 2 x 3$ a $f 2 : y = 3 x -4$ a určete jejich obor hodnot $H (f)$ .

Funkce $f 1 : y = 2 x 3$ — definiční obor není v zadání omezen, proto $D (f 1 ) = R$ . Graf prochází bodem $[0; 0]$ .

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	−54	−16	−2	0	2	16	54

f₁: y = 2x³

Funkce $f 2 : y = 3 x -4 = x 4 3 $ — definiční obor $D (f 2 ) = R ∖ 0$ .

x	−3	−2	−1	1	2	3
y	1/27	3/16	3	3	3/16	1/27

f₂: y = 3x⁻⁴

Výsledek: $H (f 1 ) = R$ (lichá mocnina — funkce nabývá všech reálných hodnot), $H (f 2 ) = R +$ (sudá záporná mocnina — funkce je vždy kladná).

Příklady na procvičení

Příklad 1: Sestrojte graf a určete $H (f)$ funkce $f : y = -5 x 2$ .

$D (f) = R$ .

x	−3	−1	0	1	3
y	−45	−5	0	−5	−45

f: y = −5x²

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek: $H (f) =$ (−∞; 0] — záporný koeficient obrací kvadratickou funkci, maximum je v bodě [0;0]

Příklad 2: Sestrojte graf a určete $H (f)$ funkce $f : y = 3 x -3 = x 3 3 $ .

$D (f) = R ∖ 0$ .

x	−3	−2	−1	1	2	3
y	−1/9	−3/8	−3	3	3/8	1/9

f: y = 3x⁻³

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek: $H (f) =$ R − {0} — lichá záporná mocnina nabývá všech nenulových reálných hodnot, k nule se jen blíží

Shrnutí

Předpis mocninné funkce: $f : y = x n, n \in Z ∖ 0$
Rozdělení podle $n$ : kladné liché, kladné sudé, záporné liché, záporné sudé — každé má jiný typický tvar grafu
Pro záporné $n$ není funkce definovaná v $x = 0$ a grafem jsou vždy dvě větve (hyperboly)

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6