Goniometrické rovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a jednotkovou kružnici vloženou jako obrázek, které se při prvním převodu ztratily. Konkrétní hodnoty pravé strany u prvních dvou ukázkových příkladů v podkladu chyběly (zůstal jen výsledný pomocný úhel) — dopočítány zpětně z uvedeného úhlu a ověřeny, že přesně sedí na uvedený výsledek. Text, vzorce a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované.

Osnova

a) pojem goniometrické rovnice, b) ukázkové příklady, c) příklady na procvičení včetně řešení.

Rovnice je matematický zápis se dvěma stranami oddělenými znaménkem rovná se (např. 2x+3=19), jehož řešením je vyjádřit, čemu se rovná neznámá (např. x=8).

Goniometrická rovnice je rovnice, ve které se vyskytují goniometrické funkce (např. cosx=0,5). Výsledkem je vyjádření velikosti úhlu (nebo úhlů), pro které má rovnice smysl — typicky dvou úhlů v rozmezí ⟨0°;360°), plus perioda, protože goniometrické funkce se opakují.

Obecný postup:

1. Určíme pomocný úhel x′ tak, že pravou stranu rovnice hledáme v tabulce základních hodnot nebo pomocí kalkulačky (bereme kladnou hodnotu, tedy bez znaménka).
2. Zaneseme pomocný úhel do jednotkové kružnice (kružnice o poloměru 1).
3. Podle znaménka na pravé straně rovnice určíme, ve kterých kvadrantech leží řešení — podle tabulky znamének:

4. Podle kvadrantů vyznačíme, které úhly jsou řešením, a zapíšeme je pomocí pomocného úhlu x′: v I. kvadrantu x′, ve II. kvadrantu 180°−x′, ve III. kvadrantu 180°+x′, ve IV. kvadrantu 360°−x′.
5. Připíšeme periodu: +k⋅360° pro sinus a cosinus, +k⋅180° pro tangens a cotangens (mají poloviční periodu).

Ukázkový příklad 1

Řešte rovnici cosx=−21​.

Pomocný úhel: x′=60° (protože cos60°=21​).

Na pravé straně je mínus, takže hledáme kvadranty, kde je cosinus záporný: II. a III. kvadrant.

x1​=180°−x′=120°,x2​=180°+x′=240°

Výsledek: x1​=120°+k⋅360°, x2​=240°+k⋅360°, k∈Z

Ukázkový příklad 2

Řešte rovnici sinx=2√2​.

Pomocný úhel: x′=45° (protože sin45°=2√2​≈0,707).

Na pravé straně je plus, hledáme kvadranty, kde je sinus kladný: I. a II. kvadrant.

x1​=x′=45°,x2​=180°−x′=135°

Výsledek: x1​=45°+k⋅360°, x2​=135°+k⋅360°, k∈Z

Ukázkový příklad 3

Řešte rovnici cosx=0,6.

Pomocný úhel (z kalkulačky): x′≈53°7′49′′.

Znaménko je plus, hledáme kvadranty I. a IV.

x1​=x′=53°7′49′′,x2​=360°−x′=306°52′11′′

Výsledek: x1​≈53°7′49′′+k⋅360°, x2​≈306°52′11′′+k⋅360°

Ukázkový příklad 4

Řešte rovnici tgx=−0,3.

Pomocný úhel: x′≈16°41′57′′.

Pozn.: u tangens a cotangens stačí do jednotkové kružnice kreslit jen půlkružnici, protože mají periodu jen 180°.

Znaménko je mínus, hledáme kvadranty II. a IV. — ale protože perioda je jen 180°, obě řešení se liší přesně o 180° a stačí zapsat jedno s periodou 180°:

x=180°−x′=163°18′3′′

Výsledek: x=163°18′3′′+k⋅180°

Příklady na procvičení

Příklad 1: Řešte rovnici cosx=−2√3​.

Výsledek:

• pomocný úhel: x’ = 30° (cos 30° = √3/2)
• znaménko mínus → kvadranty: II. a III.
• výsledek: x₁ = 180° − 30° = 150° + k·360°, x₂ = 180° + 30° = 210° + k·360°

Příklad 2: Řešte rovnici cotgx=−√3.

Výsledek:

• pomocný úhel: x’ = 30° (cotg 30° = √3)
• znaménko mínus, perioda 180° → x = 180° − 30° = 150° + k·180°

Příklad 3: Řešte rovnici sinx=−0,74.

Výsledek:

• pomocný úhel: x’ ≈ 47°43’53”
• znaménko mínus → kvadranty III. a IV.
• výsledek: x₁ = 180° + 47°43’53” = 227°43’53” + k·360°, x₂ = 360° − 47°43’53” = 312°16’7” + k·360°

Příklad 4: Řešte rovnici tgx=−3,25.

Výsledek:

• pomocný úhel: x’ ≈ 72°53’50”
• znaménko mínus, perioda 180° → x = 180° − 72°53’50” = 107°6’10” + k·180°

Příklad 5: Řešte rovnici 2(sinx+0,5)=2.

Výsledek:

• úprava: 2sinx + 1 = 2, 2sinx = 1, sin x = 1/2
• pomocný úhel: x’ = 30°
• znaménko plus → kvadranty I. a II.
• výsledek: x₁ = 30° + k·360°, x₂ = 180° − 30° = 150° + k·360°

Shrnutí

• Goniometrická rovnice obsahuje goniometrické funkce; řešením je úhel (nebo úhly) splňující rovnici, plus perioda.
• Postup: najít pomocný úhel x′ (z tabulky/kalkulačky), zjistit podle znaménka pravé strany správné kvadranty, zapsat řešení pomocí x′ a doplnit periodu.
• Perioda je 360° pro sinus a cosinus, 180° pro tangens a cotangens.

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6