Goniometrické rovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a jednotkovou kružnici vloženou jako obrázek, které se při prvním převodu ztratily. Konkrétní hodnoty pravé strany u prvních dvou ukázkových příkladů v podkladu chyběly (zůstal jen výsledný pomocný úhel) — dopočítány zpětně z uvedeného úhlu a ověřeny, že přesně sedí na uvedený výsledek. Text, vzorce a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované.

Osnova

a) pojem goniometrické rovnice, b) ukázkové příklady, c) příklady na procvičení včetně řešení.

Goniometrické rovnice

Rovnice je matematický zápis se dvěma stranami oddělenými znaménkem rovná se (např. $2 x + 3 = 19$ ), jehož řešením je vyjádřit, čemu se rovná neznámá (např. $x = 8$ ).

Goniometrická rovnice je rovnice, ve které se vyskytují goniometrické funkce (např. $cos x = 0, 5$ ). Výsledkem je vyjádření velikosti úhlu (nebo úhlů), pro které má rovnice smysl — typicky dvou úhlů v rozmezí $⟨0°; 360°)$ , plus perioda, protože goniometrické funkce se opakují.

Obecný postup:

Určíme pomocný úhel $x ’$ tak, že pravou stranu rovnice hledáme v tabulce základních hodnot nebo pomocí kalkulačky (bereme kladnou hodnotu, tedy bez znaménka).
Zaneseme pomocný úhel do jednotkové kružnice (kružnice o poloměru 1).
Podle znaménka na pravé straně rovnice určíme, ve kterých kvadrantech leží řešení — podle tabulky znamének:

kvadrant	I. (0°;90°)	II. (90°;180°)	III. (180°;270°)	IV. (270°;360°)
sin	+	+	−	−
cos	+	−	−	+
tg, cotg	+	−	+	−

Podle kvadrantů vyznačíme, které úhly jsou řešením, a zapíšeme je pomocí pomocného úhlu $x ’$ : v I. kvadrantu $x ’$ , ve II. kvadrantu $180° - x ’$ , ve III. kvadrantu $180° + x ’$ , ve IV. kvadrantu $360° - x ’$ .
Připíšeme periodu: $+ k \cdot 360°$ pro sinus a cosinus, $+ k \cdot 180°$ pro tangens a cotangens (mají poloviční periodu).

Ukázkový příklad 1

Řešte rovnici $cos x = - 21 $ .

Pomocný úhel: $x ’ = 60°$ (protože $cos 60° = 21 $ ).

Na pravé straně je mínus, takže hledáme kvadranty, kde je cosinus záporný: II. a III. kvadrant.

$x 1 = 180° - x ’ = 120°, x 2 = 180° + x ’ = 240°$

cos x = −1/2

Výsledek: $x 1 = 120° + k \cdot 360°$ , $x 2 = 240° + k \cdot 360°$ , $k \in Z$

Ukázkový příklad 2

Řešte rovnici $sin x = 2 \sqrt 2 $ .

Pomocný úhel: $x ’ = 45°$ (protože $sin 45° = 2 \sqrt 2 \approx 0, 707$ ).

Na pravé straně je plus, hledáme kvadranty, kde je sinus kladný: I. a II. kvadrant.

$x 1 = x ’ = 45°, x 2 = 180° - x ’ = 135°$

sin x = √2/2

Výsledek: $x 1 = 45° + k \cdot 360°$ , $x 2 = 135° + k \cdot 360°$ , $k \in Z$

Ukázkový příklad 3

Řešte rovnici $cos x = 0, 6$ .

Pomocný úhel (z kalkulačky): $x ’ \approx 53°7’49”$ .

Znaménko je plus, hledáme kvadranty I. a IV.

$x 1 = x ’ = 53°7’49”, x 2 = 360° - x ’ = 306°52’11”$

Výsledek: $x 1 \approx 53°7’49” + k \cdot 360°$ , $x 2 \approx 306°52’11” + k \cdot 360°$

Ukázkový příklad 4

Řešte rovnici $t g, x = -0, 3$ .

Pomocný úhel: $x ’ \approx 16°41’57”$ .

Pozn.: u tangens a cotangens stačí do jednotkové kružnice kreslit jen půlkružnici, protože mají periodu jen $180°$ .

Znaménko je mínus, hledáme kvadranty II. a IV. — ale protože perioda je jen 180°, obě řešení se liší přesně o 180° a stačí zapsat jedno s periodou 180°:

$x = 180° - x ’ = 163°18’3”$

Výsledek: $x = 163°18’3” + k \cdot 180°$

Příklady na procvičení

Příklad 1: Řešte rovnici $cos x = - 2 \sqrt 3 $ .

Výsledek:

pomocný úhel: x’ = 30° (cos 30° = √3/2)
znaménko mínus → kvadranty: II. a III.
výsledek: x₁ = 180° − 30° = 150° + k·360°, x₂ = 180° + 30° = 210° + k·360°

Příklad 2: Řešte rovnici $cot g, x = - \sqrt 3$ .

Výsledek:

pomocný úhel: x’ = 30° (cotg 30° = √3)
znaménko mínus, perioda 180° → x = 180° − 30° = 150° + k·180°

Příklad 3: Řešte rovnici $sin x = -0, 74$ .

Výsledek:

pomocný úhel: x’ ≈ 47°43’53”
znaménko mínus → kvadranty III. a IV.
výsledek: x₁ = 180° + 47°43’53” = 227°43’53” + k·360°, x₂ = 360° − 47°43’53” = 312°16’7” + k·360°

Příklad 4: Řešte rovnici $t g, x = -3, 25$ .

Výsledek:

pomocný úhel: x’ ≈ 72°53’50”
znaménko mínus, perioda 180° → x = 180° − 72°53’50” = 107°6’10” + k·180°

Příklad 5: Řešte rovnici $2(sin x + 0, 5) = 2$ .

Výsledek:

úprava: 2sinx + 1 = 2, 2sinx = 1, sin x = 1/2
pomocný úhel: x’ = 30°
znaménko plus → kvadranty I. a II.
výsledek: x₁ = 30° + k·360°, x₂ = 180° − 30° = 150° + k·360°

Shrnutí

Goniometrická rovnice obsahuje goniometrické funkce; řešením je úhel (nebo úhly) splňující rovnici, plus perioda.
Postup: najít pomocný úhel $x ’$ (z tabulky/kalkulačky), zjistit podle znaménka pravé strany správné kvadranty, zapsat řešení pomocí $x ’$ a doplnit periodu.
Perioda je $360°$ pro sinus a cosinus, $180°$ pro tangens a cotangens.

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6