Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode zlomky), text a výsledky úkolů se ale dochovaly celé — vzorce jsou zde přepsané do LaTeXu, výsledky do spoilerů, čísla stránek odstraněna. Úkoly v sekci “nepravidelný n-úhelník” se opíraly o obrázky konkrétních obrazců, které se nedochovaly — zachované výsledné hodnoty jsou uvedené jako historický záznam, i když bez obrázku nejde úlohu reprodukovat.
N-úhelník
Pravidelný — všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné (např. rovnostranný trojúhelník, čtverec); lze mu opsat kružnici (dotýká se všech vrcholů) i vepsat kružnici (dotýká se středů všech stran).
Nepravidelný — nemá všechny strany shodné, nebo nemá všechny vnitřní úhly stejně velké (např. obdélník, lichoběžník).
Pravidelný n-úhelník
Pravidelný n-úhelník lze vždy rozdělit na n shodných trojúhelníků (spojnicemi středu se všemi vrcholy):
- trojúhelník (rovnostranný) — 3 rovnoramenné trojúhelníky
- čtyřúhelník (čtverec) — 4 pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky
- pětiúhelník — 5 rovnoramenných trojúhelníků
- šestiúhelník — 6 rovnostranných trojúhelníků (jediný pravidelný n-úhelník, kde jsou tyto trojúhelníky rovnostranné!)
- sedmiúhelník — 7 rovnoramenných trojúhelníků, atd.
Vzorce:
S=n⋅Strojúhelníka(n = počet trojúhelníků)
o=n⋅a(a = strana n-úhelníka)
α=n360°(úhel u středu v každém z dílčích trojúhelníků)
Pozn.: poloměrem kružnice vepsané (ρ) u pravidelného n-úhelníka je výška va dílčího trojúhelníku; poloměrem kružnice opsané (r) je rameno dílčího trojúhelníku.
Úkoly
1. Jak velké budou úhly jednoho z 24 trojúhelníků, ze kterých lze sestavit pravidelný 24-úhelník?
Výsledek: úhel u středu: 360°/24 = 15°; zbylé dva úhly rovnoramenného trojúhelníku jsou stejné: (180°−15°)/2 = 82,5°; tedy 15°, 82,5°, 82,5°
2. Vyřešte obvod a obsah pravidelného pětiúhelníka o hraně a=6 cm.
Výsledek: o = 5a = 30 cm; S ≈ 61,95 cm²
3. Vyřešte obvod a obsah pravidelného šestiúhelníka o hraně a=4 cm.
Výsledek: o = 6a = 24 cm; S ≈ 41,52 cm² (šestiúhelník = 6 rovnostranných trojúhelníků o straně 4 cm)
4. Vyřešte poloměr kružnice vepsané a opsané pravidelnému osmiúhelníku o hraně a=5 cm.
Výsledek: r ≈ 6,53 cm (opsaná); ρ ≈ 6,04 cm (vepsaná)
Nepravidelný n-úhelník
Sem patří třeba obecné trojúhelníky (jiné než rovnostranné), obdélníky, lichoběžníky — probíraly jsme je v předchozích kapitolách.
- Obvod nepravidelného n-úhelníka = součet délek všech jeho stran.
- Obsah se počítá rozkladem na nepřekrývající se obrazce (např. trojúhelníky, čtverce, lichoběžníky), jejichž obsahy umíme snadno spočítat, a jejich sečtením.
Úkoly
1. Vyřešte obvod a výměru zahrady vyjádřené obrazcem obrázek se nedochoval.
Výsledek: o = 22,91 cm; S = 26,15 cm²
2. Vyřešte obsah obrazce obrázek se nedochoval.
Výsledek: S = 19,99 cm²
3. Vyřešte obsah obrazce obrázek se nedochoval.
Výsledek: S = 52,71 cm²