Nerovnice v součinovém tvaru

Pozn. k obsahu: Přesné znění nabízených možností A)–E) se v PDF ztratilo, správná odpověď (C) i celý postup řešení se ale dochovaly celé.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Nerovnice v součinovém tvaru

1) Je dána nerovnice s neznámou $x \in R$ : $x (3 - 2 x) < 0$ . Řešením nerovnice je:

A–B, D–E) (nedochováno) C) $(-\infty; 0) \cup (1, 5; \infty)$

Podzim 2012, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení (1. způsob — metoda logických spojek): součin $A \cdot B < 0$ právě tehdy, když ( $A > 0$ a zároveň $B < 0$ ) nebo ( $A < 0$ a zároveň $B > 0$ ).

$[x > 0 \land (3 - 2 x) < 0] nebo [x < 0 \land (3 - 2 x) > 0]$

$[x > 0 \land x > 1, 5] nebo [x < 0 \land x < 1, 5]$

$[x \in (0; \infty) \cap (1, 5; \infty)] nebo [x \in (-\infty; 0) \cap (-\infty; 1, 5)]$

průnik: $(0; \infty) \cap (1, 5; \infty) = (1, 5; \infty)$ . 2. průnik: $(-\infty; 0) \cap (-\infty; 1, 5) = (-\infty; 0)$ .

Sjednocení obou intervalů: $x \in (-\infty; 0) \cup (1, 5; \infty)$ .

Řešení (2. způsob — metoda nulových bodů): nulové body $x 1 = 0$ , $x 2 = 23 = 1, 5$ .

	$(-\infty; 0)$	$(0; 1, 5)$	$(1, 5; \infty)$
$x$	$-$	$+$	$+$
$3 - 2 x$	$+$	$+$	$-$
$x (3 - 2 x)$	$-$	$+$	$-$

Ověření nulových bodů: ani $x 1 = 0$ , ani $x 2 = 1, 5$ nevyhovuje ostré nerovnici (v obou vychází přesně $0$ , ne $< 0$ ). Sjednocení intervalů se znaménkem $-$ (tedy $< 0$ ): $x \in (-\infty; 0) \cup (1, 5; \infty)$ .

Poznámka: Nerovnici lze řešit i roznásobením závorky, čímž vznikne kvadratická nerovnice.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 16) Nerovnice v součinovém tvaru.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/16) Nerovnice v součinovém tvaru.pdf