Lineární nerovnice

Pozn. k obsahu: Nerovnice byly v PDF vysázené jako rovnicové objekty, které se při převodu ztratily — u úloh, kde se ztratily, šlo přesné znění zpětně rekonstruovat z dochovaného postupu řešení (zejména z kroku násobení oběma stranami) a přepočtem ověřit shodu s dochovaným výsledkem.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Lineární nerovnice

1) Pro $x \in R$ řešte nerovnici $2 x - 1 < -3$ a výsledek zapište intervalem.

Jaro 2011, příklad č. 9. Body: 1. Výsledek: $x \in (-\infty; -1)$ .

Řešení: $2 x - 1 < -3 ⟹ 2 x < -2 / : 2 ⟹ x < -1 ⟹ x \in (-\infty; -1)$ .

2) V oboru $R$ řešte: $2 x - 1 - 2 x + 1 < x$ .

Jaro 2013, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: $x > -1$ , resp. $x \in (-1; \infty)$ .

Řešení: $/ \cdot 6$ : $3(x - 1) - 3(x + 1) < 6 x ⟹ 3 x - 3 - 3 x - 3 < 6 x ⟹ -6 < 6 x / : 6 ⟹ -1 < x$ .

3) Přiřaďte nerovnici $2 x - 3 < -1$ řešené v oboru $R$ odpovídající množinu řešení:

A) $\emptyset$ B) $(-\infty; 1)$ C) $(-\infty; 3)$ D) $(1; +\infty)$ E) $(3; +\infty)$

Podzim 2015, příklad č. 26.1. Body: 1.

Řešení: $/ \cdot (-2)$ (pozor, obrací se znak nerovnosti): $3 - x > 2 ⟹ 1 > x ⟹ x < 1 ⟹ x \in (-\infty; 1)$ .

4) V oboru $R$ řešte nerovnici $2 x - 1 > -2 + 2 x$ .

Podzim 2017, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: řešením je každé reálné číslo ( $x \in R$ ).

Řešení: $2 x - 1 > -2 + 2 x ⟹ 2 x - 2 x > -2 + 1 ⟹ 0 > -1$ — pravdivá nerovnost nezávislá na $x$ , řešením je tedy každé reálné číslo.

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Řešte nerovnici $2 x - 5 \leq 2 x + 5$ . Výsledek zapište intervalem.

2010 (2), příklad č. 3. Body: 2. Výsledek: $x \in ⟨-5; \infty)$ .

Řešení: $/ \cdot 2$ : $x - 5 \leq 4 x + 10 ⟹ -15 \leq 3 x ⟹ -5 \leq x ⟹ x \in ⟨-5; \infty)$ .

2i) Přiřaďte každé úloze a)–c) s neznámou $x \in R$ odpovídající řešení:

a) $1 - 2 x \leq 0$ b) $-2 \cdot (x - 2) \geq 0$ c) $(x - 2) \cdot (2 - 2) \leq 0$

A) $\emptyset$ B) $R$ C–D) (nedochováno) E) (nedochováno) F) jiné řešení

2014 (1), příklad č. 25.2, 25.3, 25.4. Body: 3. Výsledek: a) D ( $⟨2; \infty)$ ), b) E ( $(-\infty; 2⟩$ ), c) B.

Řešení: a) $/ \cdot 2$ : $2 - x \leq 0 ⟹ 2 \leq x ⟹ x \geq 2 ⟹ x \in ⟨2; \infty)$ .

b) $-2 x + 4 \geq 0 ⟹ 4 \geq 2 x ⟹ 2 \geq x ⟹ x \leq 2 ⟹ x \in (-\infty; 2⟩$ .

c) $(x - 2) \cdot 0 \leq 0 ⟹ 0 \leq 0$ — pravdivé pro každé $x$ , tedy $x \in R$ (činitel $(2 - 2)$ je vždy nulový, celý součin je tedy vždy nulový bez ohledu na $x$ ).

3i) Určete všechny hodnoty $x \in R$ , které vyhovují nerovnici $-2 3 - 2 x < x$ .

2014 (2), příklad č. 9. Body: 1. Výsledek: $K = R$ .

Řešení: $/ \cdot (-2)$ (pozor, obrací se znak nerovnosti): $3 - 2 x > -2 x ⟹ 3 > 0$ — pravdivá nerovnost nezávislá na $x$ , tedy $x \in R$ .

Poznámka: Pozor! Pokud v nerovnici obě strany vynásobíme nebo vydělíme záporným číslem, musíme znak nerovnosti “obrátit” — $>$ se mění na $<$ a naopak, $\geq$ se mění na $\leq$ a naopak.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 9) Lineární nerovnice.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/9) Lineární nerovnice.pdf