Aritmetická posloupnost

Pozn. k obsahu: Vzorce ( $a n = a 1 + (n - 1) d$ , $s n = 2 n (a 1 + a n )$ ), které se v PDF ztratily jako vzorcové objekty, jsou doplněny standardním zněním. Naprostá většina úloh vycházela z obrázků, ale konkrétní číselné hodnoty použité v postupu řešení se dochovaly v textu, takže je šlo dopočítat i bez obrázku. U úloh 11, 14, 18 a 22a) se ztratila i některá vstupní čísla — ponechán jen dochovaný postup a výsledek.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Aritmetická posloupnost

1) Půlkružnice spirály: $a 1 = 22$ dm, $d = 22$ dm. Vypočtěte délku $a 3 $ třetí půlkružnice.

Jaro 2011, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: 66 dm.

Řešení: $a 3 = a 1 + 2 d = 22 + 2 \cdot 22 = 66$ dm.

2) Spirála má 15 půlkružnic ( $a 1 = 22$ , $d = 22$ dm). Uveďte v metrech délku $s$ celé spirály.

Jaro 2011, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: $s = 264$ m.

Řešení: $a 15 = 22 + 14 \cdot 22 = 330$ dm. $s 15 = 215 (22 + 330) = 7, 5 \cdot 352 = 2, 640$ dm $= 264$ m.

3) Aritmetická posloupnost o 50 členech: první tři $-140, -132, -124$ , poslední tři $236, 244, 252$ . Vypočtěte $a 20 $ .

Podzim 2011, příklad č. 8. Body: 1. Výsledek: $a 20 = 12$ .

Řešení: $d = -132 - (-140) = 8$ . $a 20 = -140 + 19 \cdot 8 = 12$ .

4) (Stejná posloupnost.) Vypočtěte součet všech 50 členů.

Podzim 2011, příklad č. 9. Body: 1. Výsledek: $s 50 = 2, 800$ .

Řešení: $s 50 = 250 (a 1 + a 50 ) = 25 \cdot (-140 + 252) = 25 \cdot 112 = 2, 800$ .

5) (Stejná posloupnost.) Určete, kolikátým členem je číslo 100.

Podzim 2011, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: $a 31 = 100$ .

Řešení: $100 = -140 + (n - 1) \cdot 8 ⟹ 100 = -140 + 8 n - 8 ⟹ 248 = 8 n ⟹ n = 31$ .

6) První dva členy aritmetické posloupnosti jsou $a 1 = 57$ , $a 2 = 54$ . Vypočtěte $a 50 $ .

Jaro 2012, příklad č. 4. Body: 1. Výsledek: $a 50 = -90$ .

Řešení: $d = 54 - 57 = -3$ . $a 50 = 57 + 49 \cdot (-3) = 57 - 147 = -90$ .

7) (Stejná posloupnost.) Vypočtěte $s 50 $ .

Jaro 2012, příklad č. 5. Body: 1. Výsledek: $s 50 = -825$ .

Řešení: $s 50 = 250 (57 + (-90)) = 25 \cdot (-33) = -825$ .

8) (Stejná posloupnost, $a 1 = 57$ , $d = -3$ .) Kolik prvních členů je třeba sečíst, aby byl součet co největší?

Jaro 2012, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: 19, resp. 20 členů.

Řešení: posloupnost klesá, součet je největší, když naposled přičítáme poslední kladné číslo (případně i nulu). $57 + 19 \cdot (-3) = 0$ , tedy $a 20 = 0$ — po něm už jsou jen záporná čísla. Stačí sečíst 19 nebo 20 prvních členů (výsledek stejný, protože $a 20 = 0$ ).

9) Je dán $a 30 = 100$ , $d = 3$ . Kolikátým členem je číslo 280?

A) 60. členem B) 90. členem C) 120. členem D) 180. členem E) jiné pořadí

Podzim 2012, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: $280 = 100 + (n - 30) \cdot 3 ⟹ 180 = 3(n - 30) ⟹ n - 30 = 60 ⟹ n = 90$ .

10) V posloupnosti je $a 1 = 1$ , $s 40 = 1, 600$ . Vypočtěte $a 40 $ .

Jaro 2013, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: $a 40 = 79$ .

Řešení: $1, 600 = 240 (1 + a 40 ) = 20(1 + a 40 ) / : 20 ⟹ 80 = 1 + a 40 ⟹ a 40 = 79$ .

11) Čtvrtý a šestý člen aritmetické posloupnosti jsou dána čísla přesné hodnoty se nedochovaly. Vypočtěte pátý člen.

Jaro 2013, příklad č. 11. Body: 1.

Řešení (dochovaný závěr): $a 5 = a 4 + d = a 6 - d$ — pátý člen leží přesně uprostřed mezi čtvrtým a šestým (aritmetický průměr sousedních členů); dochovaný výsledek je $a 5 = 3$ .

12) Schodiště na Kocouří vyhlídku: šířka prvního schodu $a 1 = 42$ cm, posledního $0, 5$ cm, $d = -0, 5$ ; hloubka jednoho schodu 45 cm. Vypočtěte vodorovnou vzdálenost $d$ (délku).

Podzim 2013, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: 3 780 cm.

Řešení: $0, 5 = 42 + (n - 1)(-0, 5) ⟹ 0, 5 n = 42 ⟹ n = 84$ . Vodorovná vzdálenost: $84 \cdot 45 = 3, 780$ cm.

13) (Stejné schodiště.) Vypočtěte výšku $v$ celého schodiště.

Podzim 2013, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: 1 785 cm.

Řešení: $n = 84$ (viz úloha 12). $s 84 = 284 (42 + 0, 5) = 42 \cdot 42, 5 = 1, 785$ cm.

14) Přiřaďte ke dvěma zadaným posloupnostem a), b) jejich třetí člen. Zadání se nedochovalo.

Jaro 2014, příklad č. 26.1, 26.2. Body: 2. Výsledek: a) A, b) E.

15) Jak dlouhá je řada 61 korálků (levá a pravá řada bez prostředního tvoří AP s $d = -2$ )?

A) méně než 720 mm B) 730 mm C) 740 mm D) 750 mm E) více než 750 mm

Podzim 2014, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: v levé (i pravé) řadě je 30 korálků, tj. 15 dvojic. $a 1 = 2 \cdot 19 = 38$ , $d = -2$ : $a 15 = 38 + 14 \cdot (-2) = 10$ . $s 15 = 215 (38 + 10) = 15 \cdot 24 = 360$ mm (délka levé řady). Celková délka $= 360 + 360 + 20 = 740$ mm (prostřední korálek má průměr 20 mm).

16) Jaký je obvod obrazce (vnořené čtverce, strany $3⋅50,3⋅48,\dots,3⋅16$ , plus 2 boční strany po 52)?

A) 1 688 cm B) 1 735 cm C) 1 784 cm D) 1 886 cm E) jiný obvod

Jaro 2015, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: čísla v závorce $150,144,138,\dots,48$ tvoří AP s $d = -6$ . $48 = 150 + (n - 1)(-6) ⟹ n = 18$ . $s 18 = 218 (150 + 48) = 9 \cdot 198 = 1, 782$ . Celkem $1, 782 + 104 = 1, 886$ cm.

17) Určete počet všech krychlí (tmavých i světlých) pro $n = 99$ bílých krychlí (tmavých $= 2 n + 1$ ).

Podzim 2015, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: 5 149.

Řešení: tmavých $= 2 \cdot 99 + 1 = 199$ . Bílé krychle tvoří AP $1,2,\dots,99$ ( $d = 1$ ): $s 99 = 299 (1 + 99) = 49, 5 \cdot 100 = 4, 950$ . Celkem $199 + 4, 950 = 5, 149$ .

18) V aritmetické posloupnosti platí vzorec pro $a n $ , kde $a 1 = -12, 5$ , $a 2 = -37, 5$ . Jaká je diference?

A) 12,5 B) 5 C) $-5$ D) $-12, 5$ E) $-25$

Jaro 2016, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: $d = a 2 - a 1 = -37, 5 - (-12, 5) = -25$ .

19) Pět po sobě jdoucích členů AP: $4, x, y, z, -8$ . Jaká hodnota je $x + y + z$ ?

A) $-2$ B) $-3$ C) $-4$ D) $-6$ E) žádná z uvedených

Podzim 2016, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: $a 5 = a 1 + 4 d ⟹ -8 = 4 + 4 d ⟹ d = -3$ . Členy: $4, 1, -2, -5, -8$ . $x + y + z = 1 + (-2) + (-5) = -6$ .

20) Televizní věž ze zmenšujících se krychlí, $a 1 = 600$ , $a n = 350$ , $d = -5$ . Vypočtěte výšku věže v metrech.

Jaro 2017, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: 242,25 m.

Řešení: $350 = 600 + (n - 1)(-5) ⟹ 5 n = 255 ⟹ n = 51$ . $s 51 = 251 (600 + 350) = 25, 5 \cdot 950 = 24, 225$ cm $= 242, 25$ m.

21) Vypočtěte obsah všech nezakrytých vodorovných ploch věže (rozdíly čtverců $6002−5952,5952−5902,\dots$ až po $3502 - 3452$ , plus poslední $3502$ ).

Jaro 2017, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: $36 m 2$ .

Řešení: první plochy tvoří AP $a 1 = 5, 975, d = -50$ , poslední před nejmenší krychlí $a n = 3, 525$ : $3, 525 = 5, 975 + (n - 1)(-50) ⟹ n = 50$ . $s 50 = 250 (5, 975 + 3, 525) = 25 \cdot 9, 500 = 237, 500 cm 2$ . Plus stěna nejmenší krychle $3502 = 122, 500 cm 2$ : celkem $360, 000 cm 2 = 36 m 2$ .

22) Přiřaďte posloupnostem a), b) druhý člen $a 2 $ :

a) ((zadání se nedochovalo, dochovaný postup vede k $a 2 = 7$ )) b) $a 1 = 12$ , $s 4 = 0$

A) $a 2 = 4$ B) $a 2 = 5$ C) $a 2 = 6$ D) $a 2 = 7$ E) $a 2 = 8$ F) jiná hodnota

Podzim 2017, příklad č. 25.1, 25.2. Body: 2. Výsledek: a) D, b) A.

Řešení: b) $s 4 = 24 (a 1 + a 4 ) ⟹ 0 = 2(12 + a 4 ) ⟹ a 4 = -12$ . $a 4 = a 1 + 3 d ⟹ -12 = 12 + 3 d ⟹ d = -8$ . $a 2 = a 1 + d = 12 - 8 = 4$ .

Příklady z testů PUP

1p) Květinový záhon: $a 1 = 4$ , $d = 3$ . Vypočtěte počet květin v šestém úseku.

Jaro 2011 PUP, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: $a 6 = 19$ .

Řešení: $a 6 = 4 + 5 \cdot 3 = 19$ .

2p) (Spirála, $a 1 = 4$ , $d = 3$ , $n = 10$ .) Kolik květin je v celé spirále?

Jaro 2011 PUP, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: 175.

Řešení: $a 10 = 4 + 9 \cdot 3 = 31$ . $s 10 = 210 (4 + 31) = 5 \cdot 35 = 175$ .

3p) V AP platí $a 9 - a 8 = 20$ . Rozhodněte o pravdivosti:

a) $a 10 - a 9 = 20$ b) $a 8 - a 7 = 20$ c) $d = 20$ d) $a 10 = a 5 + 5 d ⟹ a 5 = 0$ (dosazením $a 10 = 100$ )

Jaro 2011 PUP, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) NE, c) ANO, d) ANO.

Řešení: $d = 20$ (přímo z $a 9 - a 8 = 20$ ). a) rozdíl mezi libovolnými sousedními členy AP je vždy stejný, tedy $30$ zde není správně — pravdivé je jen tvrzení s hodnotou $20$ , ne $30$ : NE. b) obdobně, hodnota $10$ místo $20$ : NE. c) $d = 20$ : ANO. d) $a 10 = a 5 + 5 d ⟹ 100 = a 5 + 100 ⟹ a 5 = 0$ : ANO.

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Za prvních 6 míst v soutěži vyplaceno celkem 2 400 Kč (odměny tvoří klesající AP). Které tvrzení je pravdivé?

A) Součet za 1. a 6. místo je 800 Kč. B) 1 200 Kč C) více než 1 200 Kč D) nelze určit

2010 (1), příklad č. 14. Body: 3.

Řešení: $s 6 = 26 (a 1 + a 6 ) ⟹ 2, 400 = 3(a 1 + a 6 ) ⟹ a 1 + a 6 = 800$ Kč.

2i) 17 po sobě jdoucích lichých čísel, prostřední (9.) je 23. Rozhodněte o pravdivosti:

a) rozdíl sousedních členů je 1 b) $a 12 = 29$ c) všechny členy jsou větší než 5 d) součet čtyř nejmenších je 40

2010 (2), příklad č. 20. Body: 3. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) ANO.

Řešení: $d = 2$ (lichá čísla), $a 9 = 23$ . a) $d = 2 \neq = 1$ — NE. b) $a 12 = a 9 + 3 d = 23 + 6 = 29$ — ANO. c) $a 1 = a 9 - 8 d = 23 - 16 = 7 > 5$ — ANO. d) $a 1 , a 2 , a 3 , a 4 = 7, 9, 11, 13$ , součet $= 40$ — ANO.

3i) V AP je $a 2 = -20$ , $a 3 = 10$ . Přiřaďte a) $a 1 $ , b) $a 4 $ :

A) $-50$ B) $-40$ C) $-10$ D) 5 E) 40 F) 50

2011, příklad č. 22.1, 22.2. Body: 2. Výsledek: a) A, b) E.

Řešení: $d = a 3 - a 2 = 10 - (-20) = 30$ . $a 1 = a 2 - d = -20 - 30 = -50$ . $a 4 = a 1 + 3 d = -50 + 90 = 40$ .

4i) Trojúhelníková síť s 31 trojúhelníky v nejdelší řadě ( $a 1 = 31$ , $a n = 1$ , $d = -2$ ). Kolik trojúhelníků celkem?

A) méně než 225 B) 225 C) 256 D) 289 E) více než 289

2013, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $1 = 31 + (n - 1)(-2) ⟹ n = 16$ . $s 16 = 216 (31 + 1) = 8 \cdot 32 = 256$ .

5i) Kolik je lichých čísel od 35 do 135 (včetně)?

2014 (1), příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: $n = 51$ .

Řešení: $a 1 = 35$ , $a n = 135$ , $d = 2$ : $135 = 35 + (n - 1) \cdot 2 ⟹ n = 51$ .

6i) Určete součet těchto lichých čísel: $35+37+\dots+135$ .

2014 (1), příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: 4 335.

Řešení: $n = 51$ (viz úloha 5i). $s 51 = 251 (35 + 135) = 25, 5 \cdot 170 = 4, 335$ .

7i) Zeď z krychlí ( $a 1 = 20$ , $a n = 195$ , $d = 5$ , prostřední krychle má hranu 200). Jak dlouhá je zeď?

A) 80,3 m B) 79,4 m C) 79 m D) 78,6 m E) méně než 78,6 m

2014 (2), příklad č. 18. Body: 2.

Řešení: $195 = 20 + (n - 1) \cdot 5 ⟹ n = 36$ . $s 36 = 236 (20 + 195) = 18 \cdot 215 = 3, 870$ cm (levá řada bez prostřední krychle). Délka celé zdi $= 2 \cdot 3, 870 + 200 = 7, 940$ cm $= 79, 4$ m.

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 35) Aritmetická posloupnost.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/35) Aritmetická posloupnost.pdf