Jehlan · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Text a vzorce byly v PDF vysázené jako obrázky (unicode symboly) a při převodu se místy poškodily — přepsáno do LaTeXu a dopočítáno z definic. U příkladu 2 vyšla přesným výpočtem hodnota mírně odlišná od dochovaného výsledku (rozdíl cca 0,1 %, typicky způsobený zaokrouhlením v mezikroku původního řešení) — uveden je přesný výpočet. PDF dále odkazovalo na program Cabri 3D pro interaktivní úkoly, které proto nejde reprodukovat, ponechány jako historický záznam.

Jehlan je geometrické těleso, jehož podstavou je mnohoúhelník. Boční stěny (plášť) jsou tvořeny trojúhelníky, které mají jeden společný bod — vrchol jehlanu. Tělesová výška $v$ je vzdálenost vrcholu jehlanu od roviny podstavy. Stěnová výška $s$ je vzdálenost vrcholu jehlanu od podstavné hrany (výška bočního trojúhelníku).

$S = S p + S p l V = 31 S p \cdot v$

kde $S p $ je obsah podstavy a $S p l $ obsah pláště.

Pravidelný čtyřboký jehlan

Má čtvercovou podstavu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček. Podstava: $S p = a 2$ . Plášť tvoří čtyři shodné trojúhelníky o základně $a$ a výšce $s$ , tedy $S p l = 4 \cdot 2 a \cdot s = 2 as$ .

$S = a 2 + 2 as V = 31 a 2 v$

Tělesová výška $v$ , stěnová výška $s$ a polovina podstavné hrany $2 a $ tvoří pravoúhlý trojúhelník — platí mezi nimi Pythagorova věta ( $s 2 = v 2 + (2 a ) 2$ ) i goniometrické funkce.

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pravidelný čtyřstěn

Jehlan, jehož podstavu i všechny tři boční stěny tvoří shodné rovnostranné trojúhelníky (všechny hrany mají stejnou délku $a$ ).

$S = a 2 \sqrt 3 V = 121 a 3 \sqrt 2$

Pravidelný čtyřstěn (a = 1)

Ostatní jehlany

Vzorce pro objem a povrch dalších typů jehlanů ( $V = 31 S p v$ , $S = S p + S p l $ ) platí obecně — jen je potřeba dopočítat obsah konkrétní podstavy. Pro pravidelný $n$ -úhelník o straně $a$ platí:

$S = 4 n \cdot a 2 \cdot cot (n π )$

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

Otevřete postupně soubory ctyrsten_sit.cg3, jehlan_sit.cg3 a sestiboky_jehlan_sit.cg3. Síť jehlanu vždy rozložte do roviny a poté složte zpátky.
Pomocí programu Cabri nakreslete jehlan, jehož podstavou je obdélník o délkách stran $a = 6 cm$ , $b = 4 cm$ a tělesová výška má délku $v = 5 cm$ . V tomto jehlanu vyznačte tělesovou výšku $v$ . Vypočtěte povrch a objem tohoto tělesa, ověřte své výpočty v programu Cabri.

Příklady

1. V pravidelném čtyřbokém jehlanu známe délku podstavné hrany $a = 6 cm$ a objem $V = 48 cm 3$ . Vypočtěte tělesovou výšku $v$ a povrch $S$ .

Výsledek: v = 3V/a² = 3·48/36 = 4 cm; s² = v²+(a/2)² = 16+9=25 → s=5cm; S = a²+2as = 36+60 = 96 cm²

2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého jehlanu s délkou podstavné hrany $a = 7, 5 cm$ a tělesovou výškou $v = 194 mm$ .

Výsledek: v=19,4cm; S_p (pravidelný šestiúhelník) = (3√3/2)a² ≈ 146,14 cm²; V = S_p·v/3 ≈ 945,05 cm³; apotém podstavy m = a√3/2 ≈ 6,495cm; s = √(v²+m²) ≈ 20,458cm; S_pl = 6·(a·s/2) = 3as ≈ 460,31 cm²; S = S_p+S_pl ≈ 606,46 cm²

3. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřstěnu o straně délky $a = 1 cm$ .

Výsledek: S = a²√3 = √3 ≈ 1,73 cm²; V = a³√2/12 = √2/12 ≈ 0,118 cm³