Pozn. k obsahu: Zdrojové PDF obsahovalo text ve formě, kterou automatický převod nedokázal přečíst (stránka vypadala prázdná) — zadání bylo přepsáno ručně přímo ze zdrojového souboru. Žádné výsledky se ale nedochovaly vůbec — všechny jsou proto nově dopočítané a ověřené (u složitějších úprav i zpětnou zkouškou dosazením).
Tato lekce shrnuje čtyři základní dovednosti s lomenými výrazy (zlomky, jejichž čitatel nebo jmenovatel obsahuje proměnnou):
- dosazení konkrétní hodnoty do výrazu (a kontrola, že dosazovaná hodnota je v definičním oboru — viz Definiční obor výrazů),
- krácení — rozklad čitatele i jmenovatele na součin a vykrácení společných činitelů (viz Rozklad na součin),
- sčítání/odčítání — převod na společný jmenovatel,
- násobení/dělení — násobíme čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem (u dělení nejprve otočíme druhý zlomek), viz Násobení a dělení lomených výrazů.
1. Dosazení hodnoty
Určete hodnotu výrazu p2−1p4+p2−3p pro:
a) p=3
Výsledek: 9−181+9−9=881=10,125
b) p=−2
Výsledek: 4−116+4+6=326≈8,667
c) p=1
Výsledek: jmenovatel p2−1=0 → NELZE dosadit, p=1 není v definičním oboru výrazu
2. Podmínky platnosti a krácení
Určete podmínky platnosti výrazu a výraz zkraťte (u příkladů b, d, e použijte vzorce pro rozdíl/součet čtverců a součet/rozdíl kostek):
a) x2−xyx2−y2
Výsledek: x2−y2=(x−y)(x+y), x2−xy=x(x−y) → xx+y, podmínky x=0, x=y
b) 8+2a16+8a+a2
Výsledek: 16+8a+a2=(a+4)2, 8+2a=2(a+4) → 2a+4, podmínka a=−4
c) 3cy+by8b2−72c2
Výsledek: 8b2−72c2=8(b−3c)(b+3c), 3cy+by=y(b+3c) → y8(b−3c), podmínky y=0, b=−3c
d) 4u2−9v28u3+27v3
Výsledek: součet kostek 8u3+27v3=(2u+3v)(4u2−6uv+9v2), rozdíl čtverců 4u2−9v2=(2u−3v)(2u+3v) → 2u−3v4u2−6uv+9v2, podmínky u=23v, u=−23v
e) a3−64a2+4a+16
Výsledek: rozdíl kostek a3−64=(a−4)(a2+4a+16) → a−41, podmínka a=4
3. Sčítání a odčítání
Sečtěte výrazy:
a) x2−12x+x−11−x+13x
Výsledek: společný jmenovatel (x−1)(x+1): x2−12x+(x+1)−3x(x−1)=x2−1−3x2+6x+1, podmínky x=±1
b) x−12−x3−1x2+x+1
Výsledek: x3−1=(x−1)(x2+x+1), po úpravě zbyde x−11, podmínka x=1
c) 2u1−6u5+u2+uu−1
Výsledek: společný jmenovatel 6u(u+1): 6u(u+1)3(u+1)−5(u+1)+6(u−1)= 6u(u+1)4u−8= 3u(u+1)2(u−2), podmínky u=0, u=−1
d) a−1a+1−a+1a−1
Výsledek: společný jmenovatel a2−1: a2−1(a+1)2−(a−1)2=a2−14a, podmínky a=±1
4. Násobení a dělení
Vypočítejte:
a) 5s−rrs−5s2⋅3s+r2r+6s
Výsledek: rs−5s2=−s(5s−r), 2r+6s=2(r+3s) → −2s, podmínky r=5s, r=−3s
b) (1−x24)⋅(x−22x+x)
Výsledek: 1−x24=x2(x−2)(x+2), x−22x+x=x−2x2 → x+2, podmínky x=0, x=2
c) uv−u2(u−v)3⋅u2−v2v2+uv
Výsledek: po rozkladu a krácení: −uv(u−v), podmínky u=0, u=±v
d) (y−x)⋅(1+yx)
Výsledek: y(y−x)(y+x)=yy2−x2, podmínka y=0
e) xy−3yx2−6x+9:2yx2−9
Výsledek: y(x−3)(x−3)2⋅(x−3)(x+3)2y=x+32, podmínky y=0, x=±3
f) (x1+y1):(x1−y1)
Výsledek: xyx+y÷xyy−x=y−xx+y, podmínky x=0, y=0, x=y
g) 2−uu2−4:u22+u
Výsledek: −(u+2)÷u2u+2=−u2, podmínky u=±2
h) b2−9a2−64:b2−6b+9a2+16a+64
Výsledek: (b−3)(b+3)(a−8)(a+8)⋅(a+8)2(b−3)2=(a+8)(b+3)(a−8)(b−3), podmínky a=−8, b=±3
Zdroje
Zdrojový dokument: mat/lomené_výrazy_shrnutí.pdf