Lomené výrazy — shrnutí

Doplněný obsah — není z archivu podkladů, napsáno podle ŠVP. Vhodné ověřit u vyučujícího.

Pozn. k obsahu: Zdrojové PDF obsahovalo text ve formě, kterou automatický převod nedokázal přečíst (stránka vypadala prázdná) — zadání bylo přepsáno ručně přímo ze zdrojového souboru. Žádné výsledky se ale nedochovaly vůbec — všechny jsou proto nově dopočítané a ověřené (u složitějších úprav i zpětnou zkouškou dosazením).

Tato lekce shrnuje čtyři základní dovednosti s lomenými výrazy (zlomky, jejichž čitatel nebo jmenovatel obsahuje proměnnou):

dosazení konkrétní hodnoty do výrazu (a kontrola, že dosazovaná hodnota je v definičním oboru — viz Definiční obor výrazů),
krácení — rozklad čitatele i jmenovatele na součin a vykrácení společných činitelů (viz Rozklad na součin),
sčítání/odčítání — převod na společný jmenovatel,
násobení/dělení — násobíme čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem (u dělení nejprve otočíme druhý zlomek), viz Násobení a dělení lomených výrazů.

1. Dosazení hodnoty

Určete hodnotu výrazu $p 2 - 1 p 4 + p 2 - 3 p $ pro:

a) $p = 3$ b) $p = -2$ c) $p = 1$

Výsledek: a) (81+9-9)/(9-1) = 81/8 = 10,125; b) (16+4+6)/(4-1) = 26/3 ≈ 8,667; c) jmenovatel p²-1=0 → NELZE dosadit, p=1 není v definičním oboru výrazu

2. Podmínky platnosti a krácení

Určete podmínky platnosti výrazu a výraz zkraťte:

a) $x 2 - x y x 2 - y 2 $ b) $8 + 2 a 16 + 8 a + a 2 $ c) $3 c y + b y 8 b 2 - 72 c 2 $ d) $4 u 2 - 9 v 2 8 u 3 + 27 v 3 $ e) $a 3 - 64 a 2 + 4 a + 16 $

U příkladů b), d), e) použijte vzorce pro rozdíl/součet čtverců a součet/rozdíl kostek.

Výsledek: a) x²-y²=(x-y)(x+y), x²-xy=x(x-y) → (x+y)/x, podmínky x≠0, x≠y; b) 16+8a+a²=(a+4)², 8+2a=2(a+4) → (a+4)/2, podmínka a≠-4; c) 8b²-72c²=8(b-3c)(b+3c), 3cy+by=y(b+3c) → 8(b-3c)/y, podmínky y≠0, b≠-3c; d) součet kostek 8u³+27v³=(2u+3v)(4u²-6uv+9v²), rozdíl čtverců 4u²-9v²=(2u-3v)(2u+3v) → (4u²-6uv+9v²)/(2u-3v), podmínky u≠3v/2, u≠-3v/2; e) rozdíl kostek a³-64=(a-4)(a²+4a+16) → 1/(a-4), podmínka a≠4

3. Sčítání a odčítání

Sečtěte výrazy:

a) $x 2 - 1 2 x + x - 1 1 - x + 1 3 x $ b) $x - 1 2 - x 3 - 1 x 2 + x + 1 $ c) $2 u 1 - 6 u 5 + u 2 + u u - 1 $ d) $a - 1 a + 1 - a + 1 a - 1 $

Výsledek: a) společný jmenovatel (x-1)(x+1): [2x+(x+1)-3x(x-1)]/(x²-1) = (-3x²+6x+1)/(x²-1), podmínky x≠±1; b) x³-1=(x-1)(x²+x+1), po úpravě zbyde 1/(x-1), podmínka x≠1; c) společný jmenovatel 6u(u+1): [3(u+1)-5(u+1)+6(u-1)]/[6u(u+1)] = (4u-8)/[6u(u+1)] = 2(u-2)/[3u(u+1)], podmínky u≠0, u≠-1; d) společný jmenovatel a²-1: [(a+1)²-(a-1)²]/(a²-1) = 4a/(a²-1), podmínky a≠±1

4. Násobení a dělení

Vypočítejte:

a) $5 s - r r s - 5 s 2 \cdot 3 s + r 2 r + 6 s $ b) $(1 - x 2 4 ) \cdot (x - 2 2 x + x)$ c) $u v - u 2 (u - v) 3 \cdot u 2 - v 2 v 2 + u v $ d) $(y - x) \cdot (1 + y x )$ e) $x y - 3 y x 2 - 6 x + 9 : 2 y x 2 - 9 $ f) $(x 1 + y 1 ) : (x 1 - y 1 )$ g) $2 - u u 2 - 4 : u 2 2 + u $ h) $b 2 - 9 a 2 - 64 : b 2 - 6 b + 9 a 2 + 16 a + 64 $

Výsledek: a) rs-5s²=-s(5s-r), 2r+6s=2(r+3s) → -2s, podmínky r≠5s, r≠-3s; b) 1-4/x²=(x-2)(x+2)/x², 2x/(x-2)+x=x²/(x-2) → x+2, podmínky x≠0, x≠2; c) po rozkladu a krácení: -v(u-v)/u, podmínky u≠0, u≠±v; d) (y-x)(y+x)/y = (y²-x²)/y, podmínka y≠0; e) (x-3)²/(y(x-3)) · 2y/((x-3)(x+3)) = 2/(x+3), podmínky y≠0, x≠±3; f) (x+y)/(xy) ÷ (y-x)/(xy) = (x+y)/(y-x), podmínky x≠0, y≠0, x≠y; g) -(u+2) ÷ (u+2)/u² = -u², podmínky u≠±2; h) (a-8)(a+8)/((b-3)(b+3)) · (b-3)²/(a+8)² = (a-8)(b-3)/[(a+8)(b+3)], podmínky a≠-8, b≠±3

Zdroje

Zdrojový dokument: mat/lomené_výrazy_shrnutí.pdf