Pozn. k obsahu: Tento zdrojový dokument byl poškozen mnohem víc než ostatní v této sérii — u naprosté většiny úloh se ztratil samotný zadaný výraz i téměř celý postup řešení (v PDF zůstaly jen osamocené řetězce operátorů a rovnítek bez čísel, typicky proto, že výrazy byly vysázené jako rovnicové objekty/obrázky, které automatický převod neumí přečíst). U úloh, kde šlo z dochovaných fragmentů (podmínky, mezivýsledky, násobící kroky) spolehlivě odvodit původní zadání, je níže uvedeno kompletní řešení. U ostatních jsou zachovány jen dochované části — zadání tématu, podmínky, případně konečný výsledek — bez fabrikace chybějících výrazů.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Lomené výrazy
1) Pro c=0 a c=1 upravte na co nejjednodušší tvar. Výraz i postup řešení se nedochovaly.
Jaro 2011, příklad č. 1. Body: 2. Výsledek: (dochovaný fragment naznačuje výsledek 3.)
2) Pro a>0 upravte na co nejjednodušší tvar. Výraz i postup řešení se nedochovaly.
Jaro 2011, příklad č. 2. Body: 1.
3) Upravte výraz. Výraz, podmínky i postup řešení se nedochovaly.
Podzim 2011, příklad č. 3. Body: 2.
4) Pro n∈N upravte. Výraz, výsledek i postup řešení se nedochovaly.
Jaro 2012, příklad č. 1. Body: 2.
5) Jsou dány dva lomené výrazy s proměnnou x∈R (přesný tvar výrazů se nedochoval, ale z podmínek lze odvodit, že první má jmenovatele (x+1) a druhý jmenovatele x2+x). Rozhodněte o pravdivosti tvrzení:
a) Pro x=−1 má první výraz smysl. b) Pro x=1 má druhý výraz smysl. c) Společný jmenovatel obou výrazů může být x2+x. d) Součet obou výrazů je roven nedochovalo se.
Podzim 2012, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) ANO.
Řešení: a) podmínka x+1=0⟹x=−1; pro x=−1 tedy výraz nemá smysl — NE. b) podmínka x2+x=0⟹x(x+1)=0⟹x=0, x=−1; pro x=1 výraz smysl má — ANO. c) protože x2+x=x(x+1) obsahuje jmenovatel prvního výrazu (x+1) jako činitele, může sloužit jako společný jmenovatel — ANO.
6) Je dán výraz s neznámou x∈R nedochoval se. Jaká je jeho hodnota pro danou hodnotu x nedochovala se?
A) 5+√3 B) −0,5−√3 C) −2 D) −2,2 E) −3
Podzim 2012, příklad č. 17. Body: 2.
7) Pro x∈R proveďte odečtení dvou lomených výrazů. Výrazy se nedochovaly.
Jaro 2013, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: 2x−1.
8) Pro a∈R upravte výraz a uveďte podmínky. ((Výraz se nedochoval; dochovaly se jen podmínky a=0 a 4a+2=0.))
Jaro 2013, příklad č. 4. Body: 3.
9) Pro a∈R∖0,5;,1 zjednodušte (a−1):(2−\dots). Přesný tvar druhého výrazu se nedochoval.
Podzim 2013, příklad č. 4. Body: 2.
10) Pro n∈N zjednodušte. Výraz, výsledek i postup se nedochovaly.
Jaro 2014, příklad č. 4. Body: 2.
11) Pro a∈N upravte výraz. Výraz se z větší části nedochoval.
Podzim 2014, příklad č. 4. Body: 2.
12) Rozhodněte o pravdivosti tvrzení a)–d) o vlastnostech lomených výrazů pro všechna a,b∈N. Přesná znění tvrzení se nedochovala.
Podzim 2014, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) N, b) A, c) A, d) N.
13) Pro a∈R∖−2;2 zjednodušte (2+a)⋅(\dots). Druhý činitel se nedochoval.
Jaro 2015, příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: 2.
14) Pro n∈N je dán lomený výraz, který máte rozšířit číslem 3 a odstranit závorky. Přesný výraz se nedochoval.
Jaro 2015, příklad č. 10. Body: 1.
Obecná teorie (dochovala se celá): Rozšířit zlomek nějakým nenulovým číslem znamená vynásobit tímto číslem čitatele i jmenovatele; hodnota zlomku se tím nemění — např. 21=42=63=\dots (stále hodnota 0,5).
15) Pro x∈R∖0 platí A=\dots:(2:x), B=2⋅(x:6). Který výraz je ekvivalentní s 2A+B? Přesný tvar A a možnosti A–E se nedochovaly.
Jaro 2015, příklad č. 17. Body: 2. Výsledek: A.
16) Pro x∈R∖0 proveďte umocnění a upravte. Výraz se nedochoval.
Podzim 2015, příklad č. 3. Body: 1.
17) Pro a∈R výraz zjednodušte a uveďte podmínky, pro něž má smysl. Přesný výraz se nedochoval, dochovaly se jen podmínky.
Podzim 2015, příklad č. 4. Body: 3.
Řešení podmínek: a) a=0; b) 9−a2=0⟹9=a2⟹a=3, a=−3.
18) Pro x∈R zjednodušte 3x⋅(\dots). Zbytek výrazu se nedochoval.
Jaro 2016, příklad č. 3. Body: 1.
19) Pro a∈R∖0;5 zjednodušte. Výraz se nedochoval.
Jaro 2016, příklad č. 4. Body: 2.
20) Je dán výraz (√9−x)2 (rekonstrukce z dochovaných podmínek — odmocnina vyžaduje 9−x≥0). a) Uveďte podmínky. b) Zjednodušte do tvaru dvojčlenu.
Podzim 2016, příklad č. 3. Body: 2. Výsledek: a) x∈(−∞;9⟩, b) 9−x.
Řešení: a) podmínka odmocniny: 9−x≥0⟹x≤9⟹x∈(−∞;9⟩. b) po umocnění a odmocnění se odmocnina a druhá mocnina vyruší (v definičním oboru je výraz uvnitř nezáporný): (√9−x)2=9−x.
21) Pro a∈R∖−2;1;2 zjednodušte. (Výraz se nedochoval; jmenovatelé odpovídající zakázaným hodnotám naznačují součin typu (a+2)(a−1)(a−2).)
Podzim 2016, příklad č. 4. Body: 2.
22) Pro a∈R∖−5;5 zjednodušte. Výraz se nedochoval.
Jaro 2017, příklad č. 4. Body: 2.
23) Vyjádřete jednu polovinu rozdílu dvou výrazů (v uvedeném pořadí, n∈N). Výrazy se nedochovaly.
Podzim 2017, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: n.
24) Pro a∈R∖0;2 zjednodušte (2−\dots):(\dots). Výraz se nedochoval.
Podzim 2017, příklad č. 4. Body: 2.
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) Pro m=0 a m=−1 upravte na co nejjednodušší tvar. Výraz se nedochoval.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 1. Body: 2. Výsledek: (fragment naznačuje 2.)
2p) Pro n>0 upravte na co nejjednodušší tvar. Výraz se nedochoval.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 2. Body: 1.
1i) Rozhodněte o pravdivosti tvrzení a)–d) o lomených výrazech pro libovolná kladná a,b,c. Přesná znění se nedochovala.
2010 (1), příklad č. 12. Body: 4. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) NE, d) NE.
2i) Zjednodušte výrazy a), b), c) pro c=1. (Výrazy a), b) se nedochovaly; výraz c) lze zrekonstruovat z postupu jako (c3−c):(c−1).)
2010 (2), příklad č. 2. Body: 3.
Řešení c): (c3−c):(c−1)=c(c2−1):(c−1)=c(c−1)(c+1):(c−1)=c(c+1)=c2+c.
3i) Pro reálná x=−0,5 je dán výraz. Vypočtěte jeho hodnotu pro danou hodnotu x. Výraz i konkrétní hodnota x se nedochovaly.
2011, příklad č. 1.1. Body: 1.
4i) Určete podmínky výrazu s jmenovateli c2+2c a c2+4.
A–E) možnosti se nedochovaly
2011, příklad č. 18. Body: 2. Výsledek: D.
Řešení: 1. podmínka: c2+2c=0⟹c(c+2)=0⟹c=0, c=−2. 2. podmínka: c2+4=0⟹c2=−4 — tato rovnice nemá řešení, druhý zlomek má tedy smysl pro každé reálné c. Závěr: podmínky jsou c=0, c=−2.
5i) Pro x∈R proveďte. Výraz se nedochoval.
2012, příklad č. 4. Body: 1. Výsledek: 1.
6i) Pro x∈R určete podmínky výrazu obsahujícího zlomek 2x ve tvaru 3−2x=0.
2012, příklad č. 5. Body: 1. Výsledek: x=6, resp. jinak x∈R.
Řešení: 3−2x=0 /⋅2⟹6−x=0⟹x=6.
7i) Je dán výraz se jmenovatelem x2−x+2. Pro které hodnoty x výraz není definován?
A–D) možnosti se nedochovaly E) Výraz je definován pro všechna reálná čísla.
2012, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: výraz není definován tam, kde x2−x+2=0. Diskriminant: D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅2=1−8=−7<0 — rovnice nemá reálné řešení, jmenovatel proto nikdy není nulový a výraz je definován pro všechna x∈R.
8i) Uveďte podmínky pro a∈R, sečtěte a zjednodušte. Výraz se nedochoval.
2013, příklad č. 5. Body: 3. Výsledek: a=−2 (a další podmínky/výsledek nedochovány).
9i) Pro a∈R zjednodušte výraz a uveďte podmínky. (Výraz se nedochoval; z podmínek je patrné, že obsahuje jmenovatele (a−2) a výraz, jehož podmínka vede na a=3.)
2014 (1), příklad č. 4. Body: 3. Výsledek: −2, a R∖2;3.
Řešení podmínek: 1. podmínka: a−2=0⟹a=2. 2. podmínka (po převrácení druhého zlomku v dalším kroku výpočtu): vede na a=3. Výsledná hodnota výrazu po zjednodušení je konstanta −2 (nezávislá na a v rámci definičního oboru).
10i) Rozšířením lomeného výrazu \dots4, kde n∈N∖3, dostáváme \dots□. Zapište výraz, kterým nahradíte v čitateli symbol □. Přesný tvar původního a rozšířeného jmenovatele se nedochoval.
2014 (1), příklad č. 9. Body: 1. Výsledek: 8n+24.
Řešení (dochovaný postup): rozšiřující výraz X=2(3+n); dosazením do čitatele: X⋅4=2(3+n)⋅4=8(3+n)=24+8n=8n+24.
11i) Pro a∈R∖0 upravte výraz. Výraz se nedochoval, dochoval se závěr úpravy.
2014 (2), příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: 9−6a+a2.
Řešení (dochovaný závěr): výraz se po úpravě (krácením “křížem”) zjednoduší na (3−a)2=9−6a+a2.
12i) Určete všechny hodnoty c∈R, pro které má výraz smysl. ((Výraz se nedochoval, obsahuje ale jmenovatele 3c a v dalším kroku, po převrácení zlomku, i výraz c+1.))
2014 (2), příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: c=0, c=−1, resp. R∖−1;0.
Řešení: 1. podmínka: 3c=0⟹c=0. 2. podmínka (c+1 je sice v čitateli, ale po převrácení druhého zlomku v dalším kroku výpočtu se ocitne ve jmenovateli): c+1=0⟹c=−1. Závěr: výraz má smysl pro c∈R∖−1;0.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 6) Lomené výrazy.pdf.