Pozn. k obsahu: PDF používalo speciální geometrické symboly (šipky nad písmeny, symboly ∈/∉), které se při převodu ztratily nebo poškodily, a obsahovalo obrázky (k úkolům 2 a 4), které nešlo zrekonstruovat — u těch je to níže označené. Text a vzorce jsou opravené/doplněné.
Planimetrie: geometrie v rovině neboli dvourozměrná geometrie (příkladem roviny může být tabule nebo stěna ve třídě).
Základní pojmy v geometrii
Bod — označujeme velkými písmeny (A,B,C,…). Bod je abstraktní objekt, nemá rozměr ani délku. Pokud bod A splývá s bodem B, zapíšeme A=B; pokud jsou různé, zapíšeme A=B.
Přímka — označujeme malými písmeny (p,r,q,…), případně p=AB (přímka procházející body A a B). Dvěma různými body prochází vždy jediná přímka. Pokud bod A leží na přímce p, zapisujeme A∈p; pokud neleží, A∉p.
Polopřímka — bod B ležící na přímce p ji rozděluje na dvě navzájem opačné polopřímky se společným počátkem B. Označujeme p=AB.
Úsečka — označujeme AB,BC,…. Úsečku AB lze definovat jako průnik polopřímek AB a BA. Délka úsečky se označuje ∣AB∣, např. ∣AB∣=5 cm.
Rovina — označujeme malými řeckými písmeny (α,β,γ,δ,ε,…).
Polorovina — polorovina daná hraniční přímkou p=AB a bodem M — označujeme pM nebo ABM.
Úkol 1
Zakreslete tři body K, L, M a těmito body sestrojte všechny možné přímky (znalost: pro každé dva body existuje právě jedna přímka).
Úhel
Úhel lze chápat jako dvojici polopřímek se společným počátkem (vrcholem V) nebo dvojici přímek v rovině či v prostoru.
Značení: pomocí řeckých písmen (α,β,γ,δ,ε,…) nebo zápisem ∠AVB (úhel ∠ABC v trojúhelníku ABC je vlastně úhel β u vrcholu B).
Druhy úhlů a jejich velikost
| Úhel | Definice | Velikost |
|---|---|---|
| Nulový | ramena leží na sobě | 0° |
| Ostrý | menší než pravý úhel | (0°;90°) |
| Pravý | polovina přímého úhlu (dvě přímky v pravém úhlu dělí plochu na 4 shodné kvadranty; značí se tečkou v obloučku) | 90° |
| Tupý | větší než pravý, menší než přímý | (90°;180°) |
| Přímý | ramena jsou opačné polopřímky | 180° |
| Plný | ramena leží na sobě, úhlem je celá rovina kolem nich | 360° |
Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý. Nekonvexní (konkávní) úhel je úhel větší než přímý.
Velikost úhlu
Stupňová míra — značení °, ′, ′′; jednotky stupeň, minuta, vteřina: 1°=60′, 1′=60′′, 1°=3600′′.
Pozn.: úhel 36,5° není stejný jako úhel 36°50′, ale rovná se úhlu 36°30′ (protože 0,5°=30′, ne 50′).
Obloukavá míra — značení rad; jednotka radián (délka jednotkového oblouku mezi dvěma polopřímkami). Platí převodní vztah:
1°=1801⋅π rad≈0,017 rad
Proto např.:
30°=18030π=6π rad
60°=18060π=3π rad
90°=2π rad
120°=32π rad
Úkol 2
Obrázek s řešením se nedochoval, výchozí obrazec šlo ale ze zadání jednoznačně dopočítat. Na obdélníku ABCD, kde na straně AB leží bod E, sestrojte jednotlivé druhy úhlů pomocí dvou různobarevných polopřímek.
Dvojice úhlů
- Vrcholové úhly — úhly ležící naproti sobě a mající společný vrchol; vrcholové úhly jsou vždy shodné.
- Vedlejší úhly — úhly ležící vedle sebe, mající společný vrchol i jedno rameno; jejich součet je vždy přímý úhel (180°).
- Souhlasné úhly — vzniknou při protnutí dvou přímek příčkou; leží na stejné straně příčky a ve stejné poloze vůči průsečíku se svou přímkou. Jsou-li obě přímky rovnoběžné, jsou souhlasné úhly shodné.
- Střídavé úhly — vzniknou stejně jako souhlasné, ale leží na opačných stranách příčky. Jsou-li obě přímky rovnoběžné, jsou střídavé úhly také shodné.
Úkol 3
Nakreslete obdélník ABCD a v něm sestrojte jeho úhlopříčky. V tomto obrazci vyznačte všechny vrcholové, vedlejší, souhlasné a střídavé úhly.
Úkol 4
((Obrázek se nedochoval — zadání se opíralo o konkrétní nákres úhlů, ze kterého se měla velikost hledaného úhlu dopočítat pomocí vlastností výše. Zachovaný výsledek: hledaný úhel měl velikost 45°.))
Vzájemná poloha přímek
- Rovnoběžné totožné (splývající) — mají nekonečně mnoho společných bodů (jsou to fakticky tatáž přímka).
- Rovnoběžné různé — nemají žádný společný bod.
- Různoběžné — mají právě jeden společný bod.
Úkol 5
Na obdélníku z úkolu č. 2 vyznačte dvě přímky:
a) rovnoběžné totožné, b) rovnoběžné různé, c) různoběžné.