Komolý jehlan · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů (ověřeny přepočtem) do spoilerů. U příkladu 2 dochovaný výsledek odpovídal jen obsahu pláště (bez podstavy) — zadání zřejmě popisovalo nádobu bez pevného dna (např. násypku), počítáno tak. Nadpis příkladu 3 v PDF chybně uváděl “jehlan” místo “komolý jehlan” (zadání má dvě různé podstavné hrany) — opraveno.

Komolý jehlan je část jehlanu ležící mezi dvěma rovnoběžnými rovinami (podstavami) procházejícími tímto jehlanem — zjednodušeně jehlan s uříznutým „vrškem”. Skládá se ze dvou (nestejně velkých) podstav a pláště tvořeného $n$ lichoběžníky.

Vzdálenost dvou rovnoběžných podstav nazýváme tělesová výška ( $v$ ). Vzdálenost hrany dolní podstavy od hrany horní podstavy ležící ve stejné stěně nazýváme stěnová výška ( $s$ ) — je to výška bočního lichoběžníku, nezaměňovat s tělesovou výškou!

$V = 3 v (S P 1 + S P 2 + \sqrt S P 1 \cdot S P 2 )$

kde $S P 1 $ , $S P 2 $ jsou obsahy podstav.

$S = S P 1 + S P 2 + S p l $

Plášť tvoří lichoběžníky (obsah lichoběžníku se základnami $a$ , $c$ a výškou $v l ich $ je $S = 2 (a + c) \cdot v l ich $ ) — u pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu s hranami podstav $a 1 $ , $a 2 $ a stěnovou výškou $s$ :

$S p l = 4 \cdot 2 a 1 + a 2 \cdot s = 2(a 1 + a 2 ) s$

Komolý čtyřboký jehlan (a₁ = 8, a₂ = 2, v = 4)

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

Otevřete soubor komoly_jehlan_sit.cg3, síť tělesa rozložte do roviny a poté složte zpátky.
Pomocí programu Cabri nakreslete pravidelný čtyřboký komolý jehlan o délce strany dolní podstavy $a 1 = 8 cm$ , délce strany horní podstavy $a 2 = 2 cm$ a výšce $v = 4 cm$ . Vyznačte tělesovou výšku $v$ a stěnovou výšku $s$ . Vypočtěte délku stěnové výšky $s$ , objem $V$ a povrch $S$ . Své výsledky ověřte pomocí programu Cabri.

Příklady

1. Vypočtěte povrch podstavce ve tvaru pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jehož tělesová výška je $1, 2 dm$ a podstavy mají délky hran $2 dm$ a $1 dm$ .

Výsledek: s²=v²+((a₁-a₂)/2)²=1,44+0,25=1,69 → s=1,3dm; S_p1=4, S_p2=1; S_pl=2(a₁+a₂)s=2·3·1,3=7,8dm²; S=4+1+7,8=12,8 dm²

2. Nahoře otevřená nádoba (bez dna) má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Délka hrany horní podstavy je $22 cm$ , délka hrany dolní podstavy je $10 cm$ a tělesová výška nádoby je $8 cm$ . Vypočtěte hmotnost nádoby, víte-li, že $1 m 2$ materiálu, ze kterého je vyrobena, má hmotnost $8 kg$ .

Výsledek: s²=v²+((22-10)/2)²=64+36=100 → s=10cm; S_pl=2(a₁+a₂)s=2·32·10=640cm²=0,064m²; m=0,064·8=0,512 kg

3. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, je-li hrana dolní podstavy $18 cm$ a hrana horní podstavy $15 cm$ . Stěnová výška je $9 cm$ .

Výsledek: S_p1=324, S_p2=225; S_pl=2(18+15)·9=594cm²; S=324+225+594=1143 cm²; tělesová výška z Pythagorovy věty: v²=s²-((18-15)/2)²=81-2,25=78,75 → v≈8,87cm; V=(v/3)(S_p1+S_p2+√(S_p1·S_p2))=(8,87/3)(324+225+270)≈2421,51 cm³