Stereometrie · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Většina úloh vycházela z obrázků těles, které nejsou součástí archivu. Konkrétní číselné hodnoty použité v postupu řešení se ale téměř vždy dochovaly v textu, takže šlo úlohy dopočítat i bez obrázku. Vzorce (objem kužele $V = 31 π r 2 v$ , objem koule $V = 34 π r 3$ apod.), které se v PDF ztratily jako vzorcové objekty, jsou doplněny ve standardním tvaru.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Stereometrie

1) V uzavřeném skleněném kvádru $30 \times 60 \times 80$ cm je kapalina. Na stěně $30 \times 60$ dosahuje do výšky 40 cm. Jaká bude výška na stěně $30 \times 80$ ?

A) 20 cm B) 25 cm C) 30 cm D) 35 cm E) v jiné výšce

Jaro 2011, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: objem kapaliny je konstantní: $V = 30 \cdot 60 \cdot 40 = 72, 000 cm 3$ . $72, 000 = 30 \cdot 80 \cdot c 2 ⟹ c 2 = 30$ cm.

2) Rozhodněte o pravdivosti (kvádr $5 \times 2 \times 3$ dílků):

a) Nejmenší stěna má obsah 10 čtverců. b) Největší stěna má obsah 15 čtverců. c) Objem je 30 krychliček. d) Ve složeném kvádru jsou 4 hrany s délkou 3 díly.

Podzim 2011, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) ANO.

Řešení: a) nejmenší stěna má obsah $2 \times 3 = 6$ čtverců, ne 10 — NE. b) největší stěna $5 \times 3 = 15$ — ANO. c) $V = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$ krychliček — ANO. d) ANO.

3) Váleček se po jedné otočce posune o 25 cm. Poloměr podstavy?

A) přibližně 4,0 cm B) 4,1 cm C) 4,2 cm D) 4,3 cm E) jiný poloměr

Podzim 2011, příklad č. 18. Body: 2.

Řešení: 1 otočka $=$ obvod kruhu: $25 \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot r ⟹ r \approx 3, 98 \approx 4$ cm.

4) Kvádr se čtvercovou podstavou má výšku $x$ cm; podstavná hrana je o 3 cm kratší než dvojnásobek výšky. Vyjádřete objem $V$ jako mnohočlen v $x$ .

Jaro 2012, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: $V = (4 x 3 - 12 x 2 + 9 x) cm 3$ .

Řešení: podstavná hrana $= 2 x - 3$ : $V = (2 x - 3)(2 x - 3) x = (4 x 2 - 12 x + 9) x = 4 x 3 - 12 x 2 + 9 x$ .

5) Koule se dotýká pláště válce i obou podstav (“nejtěsněji”). V jakém poměru je objem koule k objemu válce?

Jaro 2012, příklad č. 21. Body: 2. Výsledek: A (poměr $32 $ platí vždy, bez ohledu na počet koulí ve válci).

Řešení: pro válec s $v = 2 r$ : $V válec V koule = π r 2 \cdot 2 r 34 π r 3 = 2 π r 3 34 π r 3 = 32 $ . Při $n$ koulích v $n$ válcových segmentech se $n$ vykrátí a poměr zůstává stejný — nezávisí na počtu koulí.

6) Vypočtěte v cm největší přímou vzdálenost dvou vrcholů drátěného hranolu (pravidelný šestiboký hranol, hrana podstavy 8 cm, výška 12 cm).

Podzim 2012, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: 20 cm.

Řešení: u pravidelného šestiúhelníku je strana rovna poloměru opsané kružnice, průměr opsané kružnice $= 2 \cdot 8 = 16$ cm. Největší vzdálenost je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 16 a 12: $x 2 = 162 + 122 = 400 ⟹ x = 20$ cm.

7) Vypočtěte v cm² obsah bílého papírového pláště hranolu (šestiboký hranol, hrana 6, obvod 48, výška 12).

Podzim 2012, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: $S = 576 cm 2$ .

Řešení: rozvinutý plášť je obdélník $48 \times 12$ : $S = 48 \cdot 12 = 576 cm 2$ .

8) Vypočtěte v litrech objem vzduchu ve stanu (trojboký hranol, podstava-trojúhelník s výpočtem $S p = 1, 92 m 2$ , výška hranolu 2,4 m).

Podzim 2012, příklad č. 13. Body: 2. Výsledek: 4 608 litrů.

Řešení: $V = S p \cdot v = 1, 92 \cdot 2, 4 = 4, 608 m 3 = 4, 608$ litrů ( $1 m 3 = 1, 000$ litrů).

9) Káď (válec, podstava 14 000 cm², objem 600 l) je naplněna do tří čtvrtin. Výška hladiny?

A) 13 cm B) 32 cm C) 44 cm D) 57 cm E) v jiné výšce

Jaro 2013, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $600$ l $= 600, 000 cm 3$ ; množství vody $= 43 \cdot 600, 000 = 450, 000 cm 3$ . $450, 000 = 14, 000 \cdot v ⟹ v \approx 32$ cm.

10) Jaký je obsah obalu (obepínajícího válce o poloměru 3, výška 13, obal $6 \times$ poloměr $+$ obvod kruhu)?

A) 479 cm² B) 514 cm² C) 543 cm² D) 598 cm² E) jiný obsah

Jaro 2013, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: délka rozvinutého obalu $\approx 6 \cdot 3 + 2 π \cdot 3 \approx 18 + 18, 84 = 36, 84$ cm. $S = 36, 84 \cdot 13 \approx 479 cm 2$ .

11) Obsah jedné stěny krychle je 0,16 m². Objem krychle?

Podzim 2013, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: $V = 0, 064 m 3$ .

Řešení: $a 2 = 0, 16 ⟹ a = 0, 4$ m. $V = a 3 = 0, 43 = 0, 064 m 3$ .

12) Vypočtěte v cm² povrch tělesa (dvě polokoule + plášť válce, $r = v = 18$ ).

Podzim 2013, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: $S = 1, 944 π \approx 6, 107 cm 2$ .

Řešení: povrch $=$ povrch koule $+$ plášť válce $= 4 π r 2 + 2 π r v = 4 π \cdot 182 + 2 π \cdot 18 \cdot 18 = 1, 296 π + 648 π = 1, 944 π \approx 6, 107 cm 2$ .

13) Sklenice (válec, průměr 12 cm, výška 16 cm). Nejdelší seříznutá špejle, která se vejde šikmo bez přesahu?

A) 17 cm B) 18 cm C) 19 cm D) 20 cm E) 21 cm

Podzim 2013, příklad č. 17. Body: 2.

Řešení: Pythagorova věta: $x 2 = 122 + 162 = 400 ⟹ x = 20$ cm.

14) Obsah černé plochy jednoho pásu (obdélník, šířka 3, poloměr 2, délka $2 \times 20 +$ obvod kruhu)?

A) $4(π + 10) cm 2$ B) $6(π + 20) cm 2$ C) $6(3 π + 20) cm 2$ D) $12(π + 5) cm 2$ E) $12(π + 10) cm 2$

Podzim 2013, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: délka obdélníku $= 2 \cdot 20 + 2 π \cdot 2 = 40 + 4 π$ . $S = 3(40 + 4 π) = 120 + 12 π = 12(π + 10) cm 2$ .

15) a) Objem půlválce (podložky, $r = 10$ , $v = 70$ ) v litrech. b) Obsah pláště půlválce v cm².

Jaro 2014, příklad č. 15. Body: 3. Výsledek: a) $3, 5 π \approx 11$ l, b) $(700 π + 1, 400) \approx 3, 599 cm 2$ .

Řešení: a) $V = 2 π r 2 v = 2 π \cdot 100 \cdot 70 = 3, 500 π cm 3 = 3, 5 π$ l $\approx 11$ l.

b) Rozvinutý plášť: šířka $= 20 + π r = 20 + 10 π$ , výška $= 70$ : $S = (20 + 10 π) \cdot 70 = 1, 400 + 700 π \approx 3, 599 cm 2$ .

16) Z osmi kuliček (poloměr 1 cm) vytvořena jedna koule. Poloměr?

A) 8 cm B) $4 \sqrt 2$ cm C) 4 cm D) $2 \sqrt 2$ cm E) 2 cm

Jaro 2014, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: $V 2 = 8 V 1 $ : $34 π r 3 = 8 \cdot 34 π \cdot 13 ⟹ r 3 = 8 ⟹ r = 2$ cm.

17) Vypočtěte v cm vzdálenost $B S$ (poloměr kulové plochy $= 12 + 5$ ).

Podzim 2014, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: 17 cm.

Řešení: $12 + 5 = 17$ cm.

18) Vypočtěte obsah kulového vrchlíku ( $r = 17$ , $v = 5$ ).

Podzim 2014, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: $170 π \approx 534 cm 2$ .

Řešení: $S = 2 π r v = 2 π \cdot 17 \cdot 5 = 170 π \approx 534 cm 2$ .

19) a) Objem dutiny (krychle $a = 8$ , dutina $= 1/4$ objemu krychle tvaru jehlanu). b) Hloubka $h$ dutiny.

Podzim 2014, příklad č. 14. Body: 3. Výsledek: a) $V = 128 cm 3$ , b) $h = 6$ cm.

Řešení: a) $V krychle = 83 = 512 cm 3$ ; dutina $= 512 : 4 = 128 cm 3$ .

b) Podstava jehlanu $S p = 82 = 64$ . $V = 3 S p \cdot v ⟹ 128 = 3 64 v ⟹ 384 = 64 v ⟹ v = 6$ cm.

20) Určete počet hran složeného tělesa (síť pravidelného trojbokého hranolu).

Jaro 2015, příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: 9 hran.

Řešení: 3 podstavné hrany dole $+$ 3 nahoře $+$ 3 boční $= 9$ .

21) Jaká je výška válce (na desetiny cm, objem 570, $2 r = v$ )?

A) menší než 8,4 cm B) 8,5 cm C) 8,7 cm D) 9,0 cm E) větší než 9,1 cm

Jaro 2015, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: $v = 2 r$ : $V = π r 2 \cdot 2 r = 2 π r 3 = 570 ⟹ r 3 \approx 90, 76 ⟹ r \approx 4, 494 ⟹ v \approx 8, 99 \approx 9$ cm.

22) Kolik papíru je použito na čepici (kužel bez podstavy, $r = 8$ , $s = 16$ )?

A) $96 π$ B) $128 π$ C) $192 π$ D) $256 π$ E) jiný počet

Jaro 2015, příklad č. 22. Body: 2.

Řešení: $S p l = π r s = π \cdot 8 \cdot 16 = 128 π cm 2$ .

23) V nádobě (válec, průměr 10) je 1 l vody. Výška sloupce vody?

Podzim 2015, příklad č. 22. Body: 2. Výsledek: A.

Řešení: $1, 000 = π \cdot 52 \cdot v = 25 π v ⟹ v = 25 π 1, 000 = π 40 $ cm.

24) Jaký je povrch kvádru (čtvercová podstava, $a + 2 c = 16$ , $a + c = 10$ )?

A) 64 cm² B) 96 cm² C) 128 cm² D) 144 cm² E) jiný povrch

Podzim 2015, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: ze soustavy $a + 2 c = 16$ , $a + c = 10$ vychází $c = 6$ , $a = 4$ . $S = 2(ab + ac + bc) = 2(16 + 24 + 24) = 128 cm 2$ .

25) a) Objem stupňů vítězů (2 krychle, obsah stěny 25 dm²). b) Minimální počet lepicích fólií (stejný obsah jako 1 stěna krychle) na pokrytí kromě podstavy.

Jaro 2016, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) $V = 250 dm 3$ , b) 9.

Řešení: a) $a 2 = 25 ⟹ a = 5$ dm, $V 1 krychle = 125 dm 3$ , celkem $2 \cdot 125 = 250 dm 3$ .

b) vodorovné plochy: 3 fólie; boční: 2 (rozstřižené); přední: 2 (1 rozstřižená); zadní: 2 (1 rozstřižená). Celkem 9.

26) Určete, kolikrát je objem kvádru větší než objem jehlanu se stejnou podstavou a výškou.

Jaro 2016, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: 3krát.

Řešení: $V kvádr = abc$ , $V jehlan = 3 abc $ — kvádr je 3× větší.

27) $∣ B D ∣ = 4 \sqrt 7$ cm, $∣ B V ∣ = 8$ cm. Vypočtěte výšku $v$ jehlanu.

Jaro 2016, příklad č. 11. Body: 1. Výsledek: $v = 6$ cm.

Řešení: Pythagorova věta (trojúhelník $S B V$ , $S$ střed podstavy, $∣ S B ∣ = 21 ∣ B D ∣ = 2 \sqrt 7$ ): $82 = (2 \sqrt 7) 2 + v 2 ⟹ 64 = 28 + v 2 ⟹ v 2 = 36 ⟹ v = 6$ cm.

28) Válec: průměr 12, plášť $60 π$ . Objem?

A) $36 π$ B) $84 π$ C) $180 π$ D) $240 π$ E) jiný objem

Jaro 2016, příklad č. 18. Body: 2.

Řešení: $r = 6$ : $60 π = 2 π \cdot 6 \cdot v = 12 π v ⟹ v = 5$ cm. $V = π \cdot 36 \cdot 5 = 180 π cm 3$ .

29) Kolik vody pojme natažená hadice 50 m (vnitřní průměr 26,3 mm)?

A) 11 l B) 27 l C) 86 l D) 272 l E) jiné množství

Podzim 2016, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $r = 0, 1315$ dm, $v = 500$ dm: $V \approx 3, 14 \cdot 0, 13152 \cdot 500 \approx 27$ dm³ $= 27$ l.

30) Povrch válce s polokoulovou dutinou ( $r = 10$ , $v = 20$ )?

A) více než $900 π$ B) $900 π$ C) $800 π$ D) $700 π$ E) méně než $700 π$

Podzim 2016, příklad č. 21. Body: 2. Výsledek: D.

Řešení: podstava $S 1 = π \cdot 102 = 100 π$ ; plášť $S 2 = 2 π \cdot 10 \cdot 20 = 400 π$ ; polovina povrchu koule $S 3 = 2 π \cdot 102 = 200 π$ . Celkem $100 π + 400 π + 200 π = 700 π cm 2$ .

31) Kapka rtuti (koule, průměr 3 mm) se rozdělí na dvě stejné kapičky. Poloměr nové kapičky?

A) 0,75 mm B) 1,04 mm C) 1,19 mm D) 1,25 mm E) 1,44 mm

Jaro 2017, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: $V původní = 34 π \cdot 1, 53$ ; každá nová koule má poloviční objem: $r nová 3 = 21 \cdot 1, 53 = 1, 6875 ⟹ r nová \approx 1, 19$ mm.

32) Povrch tělesa (dva válce, $r 1 = 60, r 2 = 90$ , $v = 70$ , plus mezikruží)?

A) 4,1 m² B) 6,8 m² C) 7,2 m² D) 9,4 m² E) 11,6 m²

Jaro 2017, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: pláště: $S 1 = 2 π \cdot 60 \cdot 70 = 8, 400 π$ , $S 2 = 2 π \cdot 90 \cdot 70 = 12, 600 π$ . Mezikruží ( $\times2$ ): $2(π \cdot 902 - π \cdot 602) = 2(8, 100 π - 3, 600 π) = 9, 000 π$ . Celkem $8, 400 π + 12, 600 π + 9, 000 π = 30, 000 π cm 2 = 3 π m 2 \approx 9, 4 m 2$ .

33) Jaký je povrch trojbokého hranolu (podstava: pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6, 8, výška hranolu 10)?

A) 188 cm² B) 198 cm² C) 240 cm² D) 288 cm² E) 308 cm²

Podzim 2017, příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: $S p = 2 6 \cdot 8 = 24 cm 2$ . Přepona: $x 2 = 62 + 82 = 100 ⟹ x = 10$ . $S p l = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 240 cm 2$ . $S = 2 \cdot 24 + 240 = 288 cm 2$ .

34) $a 1 : a 2 = 2 : 1$ , $b 1 : b 2 = 3 : 4$ . Jaký je poměr $V 1 : V 2 $ (kvádry se stejnou výškou $v$ )?

A) 3:2 B) 4:3 C) 6:5 D) 1:1 E) nelze určit

Podzim 2017, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $a 2 = 2 a 1 $ , $b 1 = 4 3 b 2 $ . $V 1 = a 1 b 1 v$ , $V 2 = a 2 b 2 v = 2 a 1 \cdot b 2 \cdot v$ . Vyjádřením přes společné proměnné vychází $V 1 : V 2 = 3 : 2$ .

35) Objem polokoule (povrch s podstavou $108 π$ )?

A) 186 cm³ B) 280 cm³ C) 452 cm³ D) 831 cm³ E) jiný objem

Podzim 2017, příklad č. 21. Body: 2.

Řešení: povrch polokoule s podstavou $= 2 π r 2 + π r 2 = 3 π r 2 = 108 π ⟹ r 2 = 36 ⟹ r = 6$ . $V = 3 2 π r 3 = 3 2 π \cdot 216 = 144 π \approx 452 cm 3$ .

Příklady z testů PUP

1p) Obsah podstavy válce $S p = 18 dm 2$ , výška $=$ poloměr. Povrch?

A) $2, 5 \cdot S p $ B) $3 \cdot S p $ C) $3, 5 \cdot S p $ D) $4 \cdot S p $ E) $4, 5 \cdot S p $

Jaro 2011 PUP, příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $r = v$ : $S p l = 2 π r v = 2 π r 2 = 2 S p = 36 dm 2$ . $S = 2 S p + S p l = 36 + 36 = 72 dm 2 = 4 S p $ .

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Krychle s hranou 10 cm a kvádr s hranami 10 a 6 cm mají stejný povrch. Třetí hrana kvádru?

A) $c = 15$ cm B) $c = 15, 5$ cm C) (nedochováno) D) jiné řešení

2010 (1), příklad č. 17. Body: 3.

Řešení: $S krychle = 6 \cdot 102 = 600 cm 2$ . $S kvádr = 2(10 \cdot 6 + 10 c + 6 c) = 120 + 32 c$ . $600 = 120 + 32 c ⟹ c = 15$ cm.

2i) Výška nádoby (pravidelný šestiboký hranol, podstava 0,5 dm²), kterou naplní 3 čtvrtlitrové hrnky?

A) 37,5 cm B) 17 cm C) 15 cm D) 11,5 cm E) jiný výsledek

2010 (2), příklad č. 16. Body: 2.

Řešení: $0, 75 = 0, 5 \cdot v ⟹ v = 1, 5$ dm $= 15$ cm.

3i) Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem?

A) devětkrát B) osmkrát C) šestkrát D) třikrát E) méně než třikrát

2010 (2), příklad č. 17. Body: 2.

Řešení: $V 2 = 34 π (2 r) 3 = 8 \cdot 34 π r 3 = 8 V 1 $ — vždy 8×, nezávisle na konkrétním poloměru.

4i) Poloměr koule s objemem 1 litr (na desetiny cm)?

2011, příklad č. 12. Body: 2. Výsledek: $r \approx 6, 2$ cm.

Řešení: $1, 000 = 34 π r 3 ⟹ r 3 = 4 π 3, 000 \approx 238, 7 ⟹ r \approx 6, 2$ cm.

5i) Přiřaďte: a) stěny krychle, b) hrany osmibokého jehlanu, c) vrcholy dvanáctibokého hranolu, d) stěny hranolu s 24 hranami.

A) 6 B) 10 C) 12 D) 20 E) 24 F) jiný výsledek

2011, příklad č. 21. Body: 4. Výsledek: a) A, b) F (16), c) E, d) B.

Řešení: a) 6. b) $8 + 8 = 16$ hran (podstavných $+$ bočních). c) $12 + 12 = 24$ vrcholů. d) hranol s 24 hranami má $8 + 8 + 8$ — je to osmiboký hranol s $8$ stěnami $+$ 2 podstavy $= 10$ .

6i) Jakou část objemu neopracovaného válce tvoří figura ze 4 kuželů (válec odpovídá objemu 6 takových kuželů)?

A–D) (nedochováno) E) (výsledek)

2012, příklad č. 23. Body: 2. Výsledek: D.

Řešení: kužel se stejnou podstavou a výškou jako válec má $31 $ jeho objemu. Poměr $4$ kuželů ku objemu válce (odpovídajícímu $6$ takovým kuželům, dle zadání): $64 = 32 $ .

7i) Obvod podstavy válce 30 cm, strana klobouku (kužele) 12 cm. Povrch klobouku?

A) 1,2 dm² B) 1,4 dm² C) 1,5 dm² D) 1,8 dm² E) jiný povrch

2012, příklad č. 24. Body: 2.

Řešení: $2 π r = 30 ⟹ r = π 15 $ . $S p l = π r s = π \cdot π 15 \cdot 12 = 180 cm 2 = 1, 8 dm 2$ .

8i) Přiřaďte sítím a)–d) tělesa:

A) pravidelný trojboký jehlan B) pravidelný čtyřboký jehlan C) pravidelný šestiboký jehlan D) pravidelný trojboký hranol E) pravidelný šestiboký hranol F) není sítí žádného tělesa

2012, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) B, b) C, c) A, d) D.

Řešení: podstava určuje typ jehlanu/hranolu — a) čtverec (B), b) pravidelný šestiúhelník (C), c) rovnostranný trojúhelník-jehlan (A), d) rovnostranný trojúhelník-hranol (D).

9i) Válec ( $r = 2, 5$ dm, $v = 2$ dm) se zmenší broušením o 1 cm poloměru. O kolik % se zmenší obsah pláště?

2013, příklad č. 13. Body: 2. Výsledek: o 4 %.

Řešení: $S 1 = 2 π \cdot 25 \cdot 20 = 1, 000 π cm 2$ , $S 2 = 2 π \cdot 24 \cdot 20 = 960 π cm 2$ . $1$ ; $960 π : 10 π = 96$ . Zmenšení: $100 - 96 = 4$ .

10i) Jaký objem má domeček (krychle $+$ jehlan, vnitřní průměr podstavy plechovky $=$ stěnová úhlopříčka $3 \sqrt 2$ )?

A) menší než 38,0 cm³ (36 cm³) B) 38,0 cm³ C) 41,5 cm³ D) 45,0 cm³ E) větší než 45,0 cm³

2013, příklad č. 23. Body: 2.

Řešení: $(3 \sqrt 2) 2 = a 2 + a 2 ⟹ 18 = 2 a 2 ⟹ a = 3$ cm. $V krychle = 27 cm 3$ , $V jehlan = 3 a 3 = 9 cm 3$ . Celkem $27 + 9 = 36 cm 3$ .

11i) Jak veliká je plocha střechy (jehlan, 4 shodné trojúhelníkové stěny, stěnová výška ze stran 8 a 6)?

A) 192 B) 202 C) 320 D) 448 E) 512

2014 (1), příklad č. 18. Body: 2.

Řešení: stěnová výška (z poloviny podstavné hrany 8 m a tělesové výšky 6 m): $s 2 = 82 + 62 = 100 ⟹ s = 10$ m. Obsah jedné stěny (podstavná hrana 16 m, výška $s = 10$ m): $S = 2 16 \cdot 10 = 80 m 2$ . Plocha střechy $= 4 \cdot 80 = 320 m 2$ .

12i) Kolik litrů vody se vešlo do kádě (kvádr $110 \times 50 \times 90$ cm)?

A) méně než 57 l B) 467,5 l C) 495 l D) 4 675 l E) 56 925 l

2014 (1), příklad č. 19. Body: 2.

Řešení: $V = 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495 dm 3 = 495$ l.

13i) Rozvinutý plášť kužele je půlkruh, strana kužele 6 cm. Obsah pláště?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

2014 (1), příklad č. 20. Body: 2. (Výsledek $18 π$ cm².)

Řešení: poloměr rozvinutého půlkruhu $=$ strana kužele $= 6$ cm. $S p l = 2 π \cdot 62 = 18 π cm 2$ .

14i) Vypočtěte objem rotačního válce (osový řez je obdélník $24 = a \cdot 4$ ).

2014 (2), příklad č. 11. Body: 1. Výsledek: $36 π \approx 113 cm 3$ .

Řešení: $24 = a \cdot 4 ⟹ a = 6$ cm (průměr), $r = 3$ cm. $V = π \cdot 9 \cdot 4 = 36 π \approx 113 cm 3$ .

15i) Poloměr polokoule $=$ poloměr podstavy kužele; objemy shodné. Vyjádřete výšku kužele.

2014 (2), příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: $v = 2 r$ .

Řešení: $3 π r 2 v = 3 2 π r 3 / \cdot 3 ⟹ π r 2 v = 2 π r 3 / : π r 2 ⟹ v = 2 r$ .

16i) Polokoule má objem $18 π$ . Poloměr?

2014 (2), příklad č. 13. Body: 1. Výsledek: $r = 3$ cm.

Řešení: $3 2 π r 3 = 18 π ⟹ r 3 = 27 ⟹ r = 3$ cm.

17i) Model krychle: drátěná kostra 144 cm celkem (12 hran). Povrch (lepenka)?

A) 864 cm² B) 648 cm² C) 578 cm² D) 486 cm² E) jiný výsledek

2014 (2), příklad č. 20. Body: 2.

Řešení: $a = 144 : 12 = 12$ cm. $S = 6 a 2 = 6 \cdot 144 = 864 cm 2$ .

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 24) Stereometrie.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/24) Stereometrie.pdf