Pozn. k obsahu: Naprostá většina úloh v této kapitole vycházela z obrázků (trojúhelníky, lichoběžníky, mapy s vyznačenými úhly a délkami), které nejsou součástí archivu. U většiny úloh ale byly konkrétní číselné hodnoty (strany, úhly) použity přímo v textu postupu řešení, takže je šlo dopočítat i bez obrázku — jen popis geometrického uspořádání (které písmeno je který vrchol apod.) je třeba brát z kontextu řešení. Vzorce sinové věty (sinαa=sinβb=sinγc) a kosinové věty (c2=a2+b2−2abcosγ), které se v PDF ztratily jako vzorcové objekty, jsou doplněny v běžném tvaru. U úloh, kde v textu chybí i klíčové číselné údaje (výhradně v obrázku), je ponechán jen dochovaný výsledek.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Planimetrie
1) Délky základen lichoběžníku jsou a=4,2⋅10? m, c=8⋅10? m, výška v=4,8⋅10? m (přesné mocniny deseti nedochovány). Určete obsah plochy lichoběžníku.
Jaro 2011, příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: S≈1,2⋅1014 m2.
Řešení: S=2a+c⋅v; dosazením vychází S≈120⋅1012=1,2⋅1014 m2.
2) Poslední půlkružnice spirály měří 33 m. Uveďte v celých metrech průměr d této půlkružnice.
Jaro 2011, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: d≈21 m.
Řešení: obvod půlkružnice o=πr: 33≈3,14r /:3,14⟹r≈10,51⟹d≈21 m.
3) Strany trojúhelníku jsou 8, 9 a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete nejdelší stranu podobného trojúhelníku.
A) 20 cm B) 19,5 cm C) 19 cm D) 18 cm E) žádná z uvedených
Jaro 2011, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: obvod menšího 8+9+13=30 cm, většího 30+15=45 cm. Poměr podobnosti 45:30=1,5. Nejdelší strana většího: 1,5⋅13=19,5 cm.
4) Určete s přesností na desítky metrů délku hranice ST trojúhelník se dvěma zadanými úhly 75° a 60° a jednou stranou — přesná délka strany se nedochovala.
A) 2 230 m B) 2 450 m C) 2 630 m D) 2 800 m E) 3 010 m
Jaro 2011, příklad č. 19. Body: 2.
Řešení: třetí úhel 180°−(75°+60°)=45°. Sinovou větou vychází ∣ST∣≈2,450 m.
5) Přiřaďte úsečkám a) strana a, b) strana c, c) úhlopříčka f jejich délky (pravoúhlý trojúhelník s úhlem 40° a přeponou/odvěsnou 10 jednotek):
A) 10sin40° B–C) (nedochováno) D) 10,tg,40° E) (nedochováno)
Jaro 2011, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) E, b) D, c) C.
Řešení: a) tg,40°=10a⟹a=10,tg,40°. b) obdobně c=10,tg,40° (jiná dvojice stran). c) cos40°=f10⟹f=cos40°10.
6) Vypočtěte obsah plochy stavebního záboru (tvar lichoběžníku).
Podzim 2011, příklad č. 11. Body: 2. Výsledek: S=3,800 m2.
Řešení: S=2a+c⋅v, dosazením (údaje z obrázku) S=3,800 m2.
7) S přesností na celé metry vypočtěte šířku pozemku (pravoúhlý trojúhelník s přeponou 236 m a odvěsnou 190 m, plus dodatečných 25 m).
Podzim 2011, příklad č. 12. Body: 2.
Řešení: Pythagorova věta: 2362=1902+x2⟹55,696=36,100+x2⟹x2=19,596⟹x≈139,99. Šířka d≈139,99+25≈165 m.
8) Vypočtěte délku strany BC (pravoúhlý trojúhelník s úhlem 60° a odvěsnou 6√3).
Podzim 2011, příklad č. 13. Body: 1.
Řešení: tg,60°=√3=6√3a⟹a=6√3⋅√3=18.
9) Vypočtěte velikost výšky v na přeponu AB (pravoúhlý trojúhelník s úhlem 60°, odvěsnou 6√3).
Podzim 2011, příklad č. 14. Body: 1. Výsledek: v=9.
Řešení: jako v úloze 8: a=18, b=6√3. Pythagorova věta: c2=182+(6√3)2=324+108=432, c=√432. Obsah S=2ab=218⋅6√3=54√3. Také S=2cv, tedy 54√3=2√432⋅v⟹v=9.
10) Úsek, který se ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu 1 cm. Kruh na plánu má poloměr 2,5 cm. Kolika kroky se obejde skutečný kruh?
Podzim 2011, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: 157 kroků.
Řešení: obvod kruhu na plánu o=2πr≈2⋅3,14⋅2,5=15,7 cm. 1 cm →10 kroků, tedy 15,7 cm →15,7⋅10=157 kroků.
11) Obdélníková plocha 2 000 m² byla rozdělena na dva menší obdélníky v poměru ploch 3:2. Větší se od menšího liší v délce jedné strany o 10 m. V jakém poměru jsou délky stran u větší z obou částí?
A) 5:6 B) 4:5 C) 3:4 D) 2:3 E) 1:2
Podzim 2011, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: 5 dílů =2,000 m2, 1 díl =400 m2; větší část (3 díly) =1,200 m2. Rozdíl 1 dílu odpovídá 10 m (šířka jednoho dílu). Větší obdélník (3 díly × 10 m =30 m): 1,200=30⋅b⟹b=40 m. Poměr stran většího: 30:40=3:4.
12) Určete vzdálenost bodu P od přímky q.
Jaro 2012, příklad č. 8. Body: 1. Výsledek: 5.
Řešení: vzdálenost bodu od přímky je délka kolmice spuštěné z bodu na přímku — z obrázku vychází 5 jednotek.
13) Vypočtěte vzdálenost bodů P, Q (pravoúhlý trojúhelník PQR s úhlem 30° a ∣PR∣=5).
Jaro 2012, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: 10.
Řešení: sin30°=0,5=∣PQ∣5⟹∣PQ∣=10.
14) Dva vnitřní úhly trojúhelníku jsou 52π a 4π (rekonstrukce ze stupňové varianty). Vypočtěte třetí úhel.
Jaro 2012, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: 207π (=63°).
Řešení (ve stupních): 52π=72°, 4π=45°; třetí úhel 180°−(72°+45°)=63°=207π.
15) Trojúhelník ABC: a=9 cm, b=15 cm, c=10 cm. Kosinus největšího vnitřního úhlu (na setiny)?
A) +0,49 B) +0,12 C) −0,24 D) −0,49 E) −0,76
Jaro 2012, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: největší úhel leží proti nejdelší straně b. Trojúhelník není pravoúhlý (152=92+102). Kosinová věta: b2=a2+c2−2accosβ⟹225=81+100−180cosβ⟹cosβ=180−44≈−0,24.
16) (Pravoúhlý trojúhelník, přepona 3 jednotky — konkrétní úhel z obrázku nedochován.)
Podzim 2012, příklad č. 9. Body: 1.
Řešení: cos(úhel)=3přilehlá; ze zadání plyne přepona =3 jednotky, sin(úhel)=3protilehlá.
17) Vypočtěte obsah šedého obrazce ASBCD (čtverec ABCD se středem S, ∣SC∣=∣SD∣=3).
Podzim 2012, příklad č. 10. Body: 2. Výsledek: S=13,5 cm2.
Řešení: Pythagorova věta (trojúhelník SCD): a2=32+32=18 cm2 (obsah čtverce ABCD). Obsah obrazce =43 obsahu čtverce =43⋅18=13,5 cm2.
(Alternativně: obsah trojúhelníku SCD=23⋅3=4,5 cm2; obrazec je tvořen třemi takovými trojúhelníky: 3⋅4,5=13,5 cm2.)
18) Jaká je délka úhlopříčky AC (na desetiny cm), trojúhelník s úhly 30° a 70°?
A) méně než 6,1 cm B) 6,1 cm C) 6,7 cm D) 7,0 cm E) více než 7,0 cm
Podzim 2012, příklad č. 20. Body: 2.
Řešení: třetí úhel 180°−(30°+70°)=80°. Sinovou větou vychází ∣AC∣≈6,7 cm.
19) Vypočtěte délku strany QR (trojúhelník PQR rozdělený výškou; ∣PX∣=25, ∣RX∣=20).
Jaro 2013, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: p=52 cm.
Řešení: Pythagorova věta (trojúhelník PXR): 252=202+x2⟹x2=225⟹x=15 cm (druhá odvěsna PQR, tj. 48 cm celkem — dochovaný mezivýpočet ukazuje p2=202+482). p2=400+2,304=2,704⟹p=52 cm.
20) V trojúhelníku ABC (proti stranám a,b,c úhly α,β,γ) rozhodněte, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c:
a) b=1,c=2,α=60° b) a=1,b=√3,α=60° c) a=2,c=4,α=30° d) a=√2,b=√6,α=30°
Jaro 2013, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) ANO, b) NE, c) ANO, d) ANO.
Řešení (test pomocí vhodné goniometrické funkce pro danou dvojici stran): a) cosα=cb=21 — platí (pravoúhlý). b) tg,α=√3=?ab=√3 — vychází, ale podmínka na pravoúhlost zde neplatí (viz dochovaný výsledek NE — přepona by musela být c, ne b, a c není zadáno). c) sinα=ca=21 — platí. d) tg,α=ba=√6√2=√31 — platí.
21) Kolik ze čtyř trojúhelníků má ortocentrum vně trojúhelníku?
A) žádný B) jeden C) dva D) tři E) čtyři
Jaro 2013, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: v ostroúhlém trojúhelníku leží ortocentrum uvnitř, v pravoúhlém ve vrcholu pravého úhlu, v tupoúhlém vně. Na obrázku jsou 2 tupoúhlé trojúhelníky (první a poslední) — vyhovují 2.
22) Jaká je velikost úhlu β (dva vrcholové úhly na obrázku)?
Jaro 2013, příklad č. 18. Body: 2. Výsledek: E (β=9π, tj. 20°).
Řešení: vrcholové úhly mají stejnou velikost: 2π−2β=β+3π (dochovaný mezivýpočet) ⟹3β=35π⟹β=95π… ((přesné zadání úhlů se nedochovalo zcela — dochovaný výsledek je β=9π)).
23) Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD (trojúhelník ABD s úhlem 60° a stranou 2, úhlopříčkou d).
Podzim 2013, příklad č. 12. Body: 2. Výsledek: o=12 cm.
Řešení: cos60°=0,5=d2⟹d=4. o=2(a+b)=2(2+4)=12 cm.
24) a) Vypočtěte úhel α schodiště (odvěsny 20 a 30). b) Délka delší strany šikmé části zábradlí (5× delší než přepona).
Jaro 2014, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) α≈56°, b) d≈180 cm.
Řešení: a) tg,α=2030=1,5⟹α≈56°19’≈56°.
b) Pythagorova věta: x2=202+302=1,300⟹x≈36,06. d≈5⋅36,06≈180 cm.
25) Vypočtěte s přesností na cm² obsah tmavé plochy ornamentu (čtverec o obsahu 400, čtyři čtvrtkruhy tvoří jeden kruh).
Jaro 2014, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: S≈314 cm2.
Řešení: a2=400⟹a=20, r=10. Tmavá plocha = obsah jednoho kruhu o poloměru 10: S=πr2≈3,14⋅100≈314 cm2.
26) Vypočtěte délku strany PM tupoúhlého trojúhelníku PLM (obsah 56 cm², výška na PM je 14 cm).
Jaro 2014, příklad č. 11. Body: 1. Výsledek: ∣PM∣=8 cm.
Řešení: S=2∣PM∣⋅v⟹56=2∣PM∣⋅14⟹∣PM∣=8 cm.
27) Obsah čtvercového pozemku (trojúhelník se stranami 120, 100 a úhlem 60°)?
A) 11 140 m² B) 11 300 m² C) 12 400 m² D) 12 560 m² E) jiný obsah
Jaro 2014, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: Kosinová věta: a2=1202+1002−2⋅120⋅100cos60°=14,400+10,000−12,000=12,400. S=a2=12,400 m2.
28) Na přímce p sestrojte a) bod dělící úhel KAL=180°, b) bod B, kde ∣BK∣=∣BL∣.
Podzim 2014, příklad č. 15. Body: 2.
Řešení: a) 180° je přímý úhel, vrchol je prostřední z pojmenovaných bodů — zde A.
b) Množina bodů se stejnou vzdáleností od K a L je osa úsečky KL (kolmice středem KL). Hledaný bod B je průsečík této osy s přímkou p.
29) Jaký je obsah čtyřúhelníku ABCD (lichoběžník s rameny 4 a 3, resp. √50)?
A) (20+√50) cm2 B) 37,5 cm2 C) (41−0,5√50) cm2 D) 39,5 cm2 E) jiný obsah
Podzim 2014, příklad č. 20. Body: 2.
Řešení: čtyřúhelník je lichoběžník, výšku dopočítáme Pythagorovou větou z pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 4 a 3: e2=42+32=25⟹e=5 cm. S=37,5 cm2. (Údaj AD=√50 cm nebyl pro výpočet nutný.)
30) Přiřaďte úhlům a) α, b) β, c) γ jejich velikosti (pravoúhlé trojúhelníky se společným bodem X).
A) 15° B) 25° C) 35° D) 45° E) jiná velikost
Podzim 2014, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) D (α=45°), b) E (β=30°), c) A (γ=15°).
Řešení: a) tg,α=1⟹α=45°. b) sinβ=0,5⟹β=30°. c) v trojúhelníku AXC: úhel u A=90°, α=45°, úhel u C=45°; v ABC: úhel u A=90°, β=30°, úhel u C=60°; rozdíl 60°−45°=15°=γ.
31) Vypočtěte obsah kruhové travnaté plochy (mezikruží, obvod vnějšího kruhu 157 m, šířka 2 m), zaokrouhlete na desítky.
Jaro 2015, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: S≈1,660 m2.
Řešení: obvod vnějšího kruhu o=2πr2⟹157≈6,28r2⟹r2≈25. Vnitřní poloměr r1=25−2=23. S1=πr12≈3,14⋅529≈1,661≈1,660 m2.
32) Přiřaďte trojúhelníkům délku strany x:
A) x<4 cm B) x=4 cm C) x=5 cm D) x=6 cm E) x>6 cm
Jaro 2015, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) D, b) C, c) E (x≈6,56 cm).
Řešení: a) cos60°=x3 (dochováno jen výsledek) ⟹x=6 cm. b) 180°−(30°+120°)=30° — dva shodné úhly 30°, trojúhelník rovnoramenný, x=5 cm. c) Kosinová věta se stranami 7, 6 a úhlem 60°: x2=72+62−2⋅7⋅6cos60°=49+36−42=43⟹x≈6,56 cm.
33) a) Vypočtěte úhel (pravoúhlý trojúhelník, poměr odvěsen 1,2). b) Kosinovou větou v trojúhelníku BCD (b=6,d=5,c=6) vypočtěte úhel γ.
Podzim 2015, příklad č. 15. Body: 3.
Řešení: a) tg,α=1,2⟹α≈50°12’≈50°.
b) Kosinová věta (pozor, úhel na pravé straně rovnice musí ležet naproti straně na levé straně): c2=b2+d2−2bdcosγ⟹36=36+25−60cosγ⟹cosγ=6025=0,416⟹γ≈65°23’≈65°.
34) Jaká je vzdálenost AL (trojúhelník s úhly 60° a 20°, stranou LP=125 m)?
A) 250 m B) 343 m C) 360 m D) 365 m E) jiná vzdálenost
Podzim 2015, příklad č. 20. Body: 2.
Řešení: třetí úhel 180°−(60°+20°)=100°. Sinovou větou (úhel 100° leží naproti LA, úhel 20° naproti LP=125 m): ∣LA∣≈360 m.
35) Jaký je obsah tmavého čtyřúhelníku ABDE (rozdíl dvou trojúhelníků, obsahy 24 a 3 cm²)?
A) 21 cm² B) 22 cm² C) 23 cm² D) 24 cm² E) jiný obsah
Podzim 2015, příklad č. 21. Body: 2. Výsledek: A.
Řešení: obsah ABDE= obsah △ABC− obsah △EDC=24−3=21 cm2.
36) V kosočtverci KLMN vypočtěte obsah.
Jaro 2016, příklad č. 8.1, 8.2. Body: 2. Výsledek: S=30 jednotek².
Řešení: kosočtverec rozdělíme na 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky. Obsah jednoho trojúhelníku 7,5 jednotek², celkem 4⋅7,5=30 jednotek².
37) Rozhodněte o pravdivosti (čtverec ABCD s vepsaným půlkruhem r=20 a kruhem r=10):
a) Tmavý půlkruh má obsah 400π cm2. b) Bílý kruh má poloviční obsah tmavého půlkruhu. c) Bílá část čtverce má obsah 25π cm2. d) Bílý kruh má obsah 200π cm2.
Jaro 2016, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) N, b) A, c) A, d) N.
Řešení: a) tmavý půlkruh S=2π⋅202=200π — NE (ne 400π). b) bílý kruh S=π⋅102=100π=2200π — ANO. c) bílá čtvrtina čtverce = čtvrtkruh =4π⋅102=25π — ANO. d) bílý kruh je 100π, ne 200π — NE.
38) Jaká je velikost zorného úhlu φ (trojúhelník se stranami 39, 101, 128)?
A) 14° B) 18° C) 21° D) 23° E) 38°
Jaro 2016, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: Kosinová věta: 392=1012+1282−2⋅101⋅128cosφ⟹25,856cosφ=25,064⟹cosφ≈0,969⟹φ≈14°13’≈14°.
39) Obrazec obsahuje 6 trojúhelníků (základny 2,4,8,16,32,64 cm, výšky 1,2,4,8,16,32 cm). Obsah největšího?
Podzim 2016, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: 1 024 cm².
Řešení: S=264⋅32=1,024 cm2.
40) Jaký je obsah šestiúhelníku ABCDEF (lichoběžník se základnou 6 cm, plocha 32; trojúhelníky s odvěsnami 10 a 6)?
A) 74,5 cm² B) 82 cm² C) 90,5 cm² D) 96 cm² E) 100 cm²
Podzim 2016, příklad č. 19. Body: 2.
Řešení: obsah lichoběžníku 32=2(6+b2)⋅4⟹b2=10 cm. Trojúhelník ABF (odvěsna 10): S2=210⋅10=50 cm2. Trojúhelník CDE (odvěsna 6): S3=26⋅6=18 cm2. Celkem 50+18+32=100 cm2.
41) Šířka řeky s (vzdálenost AB=50 m) ve třech situacích:
A) méně než 28 m B) 30 m C) 32 m D) 34 m E) více než 36 m
Podzim 2016, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) C, b) B, c) D.
Řešení: a) sin40°=0,643=50s⟹s≈32 m. b) rozdělením na dva shodné trojúhelníky výškou: tg,50°=1,192=25s⟹s≈30 m. c) třetí úhel 180°−(30°+40°)=110°; sinovou větou (úhel 40° naproti s, úhel 110° naproti AB=50 m): s≈34 m.
42) Vypočtěte obsah tmavého obrazce (lichoběžník).
Jaro 2017, příklad č. 10. Body: 1. Výsledek: 18 j2.
Řešení: S=2a+c⋅v=18 jednotek².
43) Vypočtěte, v jaké výšce h nad zemí se zlomil strom (celková výška 36 m, vzdálenost paty od vrcholu koruny 12 m).
Jaro 2017, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: h=16 m.
Řešení: Pythagorova věta: (36−h)2=h2+122⟹1,296−72h+h2=h2+144⟹1,152=72h⟹h=16 m.
44) Jaká je šířka řeky s (trojúhelník s úhly 20° a 50°, strana BD=40 m)?
A) 24 m B) 27 m C) 32 m D) 33 m E) 35 m
Jaro 2017, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: vedlejší úhel k 50° je 130°; třetí úhel 180°−(20°+130°)=30°. Sinovou větou (úhel 20° naproti s, úhel 30° naproti BD=40 m): s≈27 m.
45) V trojúhelníku ABC (výška z C dělí AB; v pravoúhlém trojúhelníku PBC: přepona 4, odvěsna 2√3): a) úhel γ, b) výška vc.
Podzim 2017, příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: a) 120°, b) 2 cm.
Řešení: a) sin(…)=42√3=2√3⟹ úhel =60° (tabulková hodnota), γ=2⋅60°=120°.
b) Pythagorova věta: 42=(2√3)2+vc2⟹16=12+vc2⟹vc=2 cm.
46) Jaká je velikost zorného úhlu φ (trojúhelník KLM: úhel při K=125°, strany KL=6 m, LM=55 m)?
A) 5,1° B) 6,3° C) 7,4° D) 8,2° E) jiná velikost
Podzim 2017, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: úhel při K je vedlejší k 55°, tedy 125°. Sinovou větou (úhel 125° naproti LM=55 m, úhel φ naproti KL=6 m): sinφ6=sin125°55≈67,155⟹sinφ≈0,089⟹φ≈5°6’≈5,1°.
47) O kolik cm² se liší obsahy trojúhelníků ABD a BCD (lichoběžník s obsahem 32, základnou 6, výškou 4)?
A) o 5 cm² B) o 6,5 cm² C) o 7 cm² D) o 7,5 cm² E) o 8 cm²
Podzim 2017, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: druhá základna lichoběžníku: 32=2(6+b2)⋅4⟹b2=10 cm. SABD=20 cm2, SBCD=12 cm2 (dochované mezivýsledky), rozdíl =8 cm2.
48) Na pozemku 0,16 km² je čtvercová zahrada o straně 0,2 km. Kolik % plochy zabírá?
A) méně než 20 % B) 20 % C) 25 % D) 36 % E) více než 36 %
Podzim 2017, příklad č. 26.1. Body: 1.
Řešení: Szahrada=0,22=0,04 km2. 0,04:0,16=25.
Příklady z testů PUP
1p) Trojúhelník: pata výšky dělí základnu na úseky 2,5⋅106 a 5⋅105; výška 8⋅104. Obsah?
Jaro 2011 PUP, příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: S=1,2⋅1011 m2.
Řešení: základna =2,5⋅106+5⋅105=3⋅106. S=23⋅106⋅8⋅104=1,2⋅1011 m2.
2p) Body X,Y,Z jsou ve středech stran čtverce o obsahu 64 cm². Obsah světlé plochy?
Jaro 2011 PUP, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: S=40 cm2.
Řešení: a=8 cm. Světlá plocha = čtverec − menší trojúhelník (8 cm2) − větší trojúhelník (16 cm2) =64−8−16=40 cm2.
3p) Kolika krokům odpovídá vzdálenost MN (podobné trojúhelníky PON∼PQM, odvěsny 80 a 120 kroků, druhá odvěsna 60)?
A) 240 B) 250 C) 260 D) 270 E) 280
Jaro 2011 PUP, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: poměr podobnosti 120:80=1,5. Pythagorova věta: ∣PN∣2=802+602=10,000⟹∣PN∣=100 kroků. ∣MP∣=1,5⋅100=150 kroků. ∣MN∣=∣MP∣+∣PN∣=150+100=250 kroků.
4p) Kolik 10metrových úseků je zaúčtováno (trojúhelník se stranami 70, 85 a úhlem 110° mezi nimi)?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Jaro 2011 PUP, příklad č. 19. Body: 2.
Řešení: Kosinová věta: s2=702+852−2⋅70⋅85cos110°≈4,900+7,225+4,069,8≈16,195⟹s≈127 m. Účtuje se každý započatý 10m úsek: 13.
5p) V pravoúhlém lichoběžníku ABCD přiřaďte a) úhlopříčce f, b) straně c, c) výšce v jejich délky (trojúhelník ABD s úhlem 60°, výsledek f=12).
A–B) (nedochováno) C) 6 D) 12 E) jiná hodnota
Jaro 2011 PUP, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) D, b) C, c) B.
Řešení: a) trojúhelník ABD je rovnostranný (všechny úhly 60°), f=12. b) sin30°=0,5=12c⟹c=6. c) Pythagorova věta: 122=62+v2⟹v2=108⟹v=√108=√36⋅3=6√3.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Rovnoběžník ABCD: a=5 cm, úhel ABS=90°, úhlopříčka f=BD=12 cm. a) Náčrtek. b) Obvod. c) Úhel při A.
2010 (1), příklad č. 10. Body: 4. Výsledek: b) o=36 cm.
Řešení: a) protože ABS=90°, jde o kosodélník (ne čtverec/obdélník/kosočtverec).
b) Pythagorova věta (AD): ∣AD∣2=52+122=169⟹∣AD∣=13 cm =b. o=2(5+13)=36 cm.
c) sinα=1312≈0,923⟹α≈67°.
2i) V n-úhelníku určete úhel α pro tři náčrtky:
A–D) (nedochováno) E) hodnota není uvedena
2010 (1), příklad č. 18. Body: 4. Výsledek: a) A, b) E (40°), c) D.
Řešení: a) devítiúhelník s rovnicí 9α=180°⟹α=20° (dochovaný mezivýpočet).
b) čtyřúhelník, protější úhly rovnoběžníku shodné, sousední dávají 180°: 3,5β+β=180°⟹4,5β=180°⟹β=40°.
c) soustava trojúhelníků s ε: 2ε+3ε=90°⟹ε=18°; úhel při A v ACD =3ε=54°; podobně u D; ve středovém trojúhelníku φ=180°−54°−54°=72°.
3i) Kolik kroků ušetříte přejitím čtvercového pozemku úhlopříčně místo po dvou stranách (300 kroků)?
2010 (2), příklad č. 9. Body: 3.
Řešení: strana a=150 kroků. Pythagorova věta: x2=1502+1502=45,000⟹x≈212 kroků. Úspora: 300−212=88≈90 kroků.
4i) Pozemek tvaru půlkruhu: rovná část plotu 28 m. Kolik metrů pletiva na oblouk?
A) 44 m B) 48 m C) 52 m D) 56 m E) jiný počet
2010 (2), příklad č. 14. Body: 2.
Řešení: rovná část = průměr =28 m, r=14. Obvod půlkruhu (oblouk) o=πr≈3,14⋅14≈44 m.
5i) Rovnoramenný trojúhelník: úhel při základně 75°, ramena 10. Základna c?
A) přibližně 4,9 B) přibližně 5,2 C) přibližně 5,5 D) přibližně 5,8 E) jinou délku
2010 (2), příklad č. 15. Body: 2.
Řešení: výška z vrcholu C dělí základnu na poloviny: cos75°≈0,259=100,5c… (přesněji cos75°=100.5c) ⟹c≈5,18≈5,2 jednotky.
6i) a) Obvod dlaždice (velký čtverec ze čtyř obdélníků, obvod jednoho 30 cm). b) Obsah.
2011, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: a) o=60 cm, b) S=225 cm2.
Řešení: strana velkého čtverce = součet delší a kratší strany obdélníku =15 cm. o=4⋅15=60 cm. S=152=225 cm2.
7i) Obdélníková zahrada, rozměry se liší o 1 m, úhlopříčka 29 m. Rozměry?
2011, příklad č. 10. Body: 3. Výsledek: 20 m × 21 m.
Řešení: 292=x2+(x−1)2⟹841=2x2−2x+1⟹0=x2−x−420=(x−21)(x+20)⟹x=21 (kladný kořen). Délka 21 m, šířka 20 m.
8i) a) Zorný úhel od paty věže na dvě stanoviště (úhly 100°, 45°). b) Vzdálenost B od věže (strana AB=1,5 km).
2011, příklad č. 11. Body: 3. Výsledek: a) 35°, b) 1 849 m.
Řešení: a) 180°−(100°+45°)=35°.
b) Sinovou větou (úhel 45° naproti BV, úhel 35° naproti AB=1,5 km): ∣BV∣≈1,8492 km ≈1,849 m.
9i) Jak dlouhý stín vrhá člověk 180 cm vysoký při úhlu paprsků 50°?
A–D) (nedochováno) E) (výsledek)
2011, příklad č. 17. Body: 2. Výsledek: E.
Řešení: pravoúhlý trojúhelník se svislou odvěsnou 180 cm, úhel při základně 50°: tg,50°=∣AB∣180⟹∣AB∣=tg,50°180.
10i) Obsah rovnoběžníku ABCD (kosodélník, základna 2, výška 4).
2012, příklad č. 14. Body: 1. Výsledek: 8.
Řešení: S=a⋅va=2⋅4=8 cm2.
11i) V rovnoběžníku ABCD určete poměr výšek (základna a s výškou 4, strana b dopočtená Pythagorovou větou ze stran 3 a 4).
2012, příklad č. 15. Body: 2. Výsledek: 5:2, resp. 2:5.
Řešení: S=a⋅va=2⋅4=8 cm2. b2=32+42=25⟹b=5 cm. 8=5⋅vb⟹vb=1,6. Poměr va:vb=4:1,6=5:2.
12i) Trojúhelník ABC s úhlem a vztahem stran splňujícím a2+b2=c2. Rozhodněte:
a) Nejdelší strana je c. b) Největší úhel má 100°. c) Trojúhelník je rovnoramenný. d) Osa strany b je rovnoběžná se stranou a.
2012, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) ANO, b) NE, c) NE, d) ANO.
Řešení: obrácená Pythagorova věta — trojúhelník je pravoúhlý s přeponou c (pravý úhel u C). a) ANO (c je přepona). b) NE (největší úhel je 90°). c) NE (úhly 90°, 40°, 50° — žádné dva shodné). d) ANO (z náčrtku — osa úsečky je kolmice jejím středem).
13i) Trojúhelník ABC: a=3, b=5, c=7 cm. Součet dvou nejmenších úhlů?
A) 22° B) 38° C) 60° D) 105° E) jiný součet
2012, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: největší úhel γ (proti c). Kosinová věta: 49=9+25−30cosγ⟹cosγ=−0,5⟹γ=120°. Součet zbylých dvou: 180°−120°=60°.
14i) Určete středový úhel α kruhové výseče (40 % plného úhlu).
2013, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: α=144°.
Řešení: 100, 1, 40.
15i) Ve kterém trojúhelníku leží ortocentrum vně a zároveň na ose jedné strany?
A) rovnostranný B) pravoúhlý C) ostroúhlý D) rovnoramenný tupoúhlý E) nemůže nastat
2013, příklad č. 21. Body: 2.
Řešení: ortocentrum vně ⟹ tupoúhlý trojúhelník; aby leželo i na ose strany, musí být navíc rovnoramenný (ortocentrum leží na ose základny).
16i) Jak dlouhá je hrana krychle, je-li tg,α=3(6−a)2a (delší odvěsna 6−a)?
A) kratší než 2,4 m B) 2,4 m C) 2,5 m D) 2,6 m E) delší než 2,6 m
2013, příklad č. 22. Body: 2.
Řešení: tg,α=3(6−a)2(6−a)… (dochovaný postup) ⟹2(6−a)=3a⟹12−2a=3a⟹a=2,4 m.
17i) Vyjádřete vzdálenost bodu A od osy x pomocí α (jednotková kružnice).
2014 (1), příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: sinα.
Řešení: v pravoúhlém trojúhelníku OXA (přepona =1): sinα=∣AX∣, tedy vzdálenost =sinα.
18i) Vypočtěte vzdálenost bodů B, P (jednotková kružnice, rovnoramenný trojúhelník OPB, úhel při vrcholu 120°).
2014 (1), příklad č. 13. Body: 2. Výsledek: ∣BP∣=√3.
Řešení (sinová věta): úhly při základně 30°, úhel při vrcholu O 120°: sin120°∣PB∣=sin30°1⟹∣PB∣=sin30°sin120°=1/2√3/2=√3.
19i) Součet obsahů tří útvarů (trojúhelník, kosodélník se základnou 3 a výškou 4, lichoběžník)?
A) méně než 27,5 B) 27,5 C) 28,0 D) 28,5 E) více než 28,5
2014 (1), příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: S1(trojúhelník)=6 cm2; S2(kosodélník)=3⋅4=12 cm2; S3(lichoběžník)=10,5 cm2. Celkem 6+12+10,5=28,5 cm2.
20i) Vypočtěte obsah lichoběžníku ABCD (rovnoběžník PBCD se stranou 18, AP=24, trojúhelník APD: AD=20, PX=12).
2014 (2), příklad č. 14. Body: 2. Výsledek: S=480 cm2.
Řešení: delší základna =24+18=42 cm. Výška = výška trojúhelníku APD: Pythagorova věta 202=122+v2⟹v2=256⟹v=16 cm. S=2(18+42)⋅16=480 cm2.
21i) Obsah obdélníkového pozemku (trojúhelník s úhly 50°, 30°, stranou b=30)?
A) 979 m² B) 1 732 m² C) 1 928 m² D) 1 958 m² E) 2 298 m²
2014 (2), příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: třetí úhel 180°−(50°+30°)=100°. Sinovou větou vychází a≈64,279 m. S=a⋅b≈64,279⋅30≈1,928 m2.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 23) Planimetrie.pdf.