05 Dělení mnohočlenů

Pozn. k obsahu: Zdrojový dokument byl učitelský lekční plán s poznámkami k výuce — mocniny (exponenty) se při převodu oddělily od základu a postup dělení “pod sebou” ztratil odřádkování, takže čísla splynula do nečitelných řádků. Metoda i mezivýsledky byly ale čitelné a všechny čtyři podrobné příklady jsem nezávisle přepočítal a ověřil zpětným násobením (dělenec = dělitel × podíl + zbytek) — všechny souhlasí. Jeden neúplný pátý příklad (dochovala se jen závěrečná poznámka “výraz 13x+30 už nejde dál dělit” bez zadání) nejde rekonstruovat a byl vynechán.

Mnohočleny lze dělit dvěma způsoby, podle toho, čím dělíme.

1. Dělení mnohočlenu jednočlenem

Jednoduché — dělíme každý člen zvlášť (dělit znamená dát mnohočleny do zlomku a ten rozdělit na jednotlivé členy). Výsledkem je často opět mnohočlen.

Příklad: $(6 x 3 - 9 x 2 + 3 x) : (3 x) = 2 x 2 - 3 x + 1$

2. Dělení mnohočlenu mnohočlenem

To už je složitější — zlomek můžeme takto rozdělit jen podle sčítání/odčítání v čitateli, ne podle jmenovatele. Inspirujeme se tím, jak se dělí víceciferná čísla “pod sebou” — dělíme postupně, vždy se zajímáme o nejvyšší zbývající řád, zpětně násobíme a odečítáme:

$2275 : 7 = 325$

$22 : 7 = 3 (zbytek 1), 17 : 7 = 2 (zbytek 3), 35 : 7 = 5 (zbytek 0)$

U mnohočlenů postupujeme úplně stejně — jen místo “nejvyšší cifry” hledáme člen s nejvyšší mocninou.

Ukázkový postup

Vydělte $(x 5 - 3 x 2 - 4 x + 6) : (x 2 - 2)$ .

Vydělíme členy s nejvyššími mocninami: $x 5 : x 2 = x 3$ .
Získaným členem vynásobíme celý dělitel (zpětné násobení): $x 3 \cdot (x 2 - 2) = x 5 - 2 x 3$ .
Od původního mnohočlenu odečteme výsledek: $(x 5 - 3 x 2 - 4 x + 6) - (x 5 - 2 x 3) = 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 6$ .
S výsledkem opakujeme celý postup, dokud nezbyde mnohočlen nižšího stupně, než má dělitel (nebo nula).

Zkrácený postup (jen výsledky jednotlivých kroků):

$x 5 - 3 x 2 - 4 x + 6 : x 2 - 2 = x 3 + 2 x - 3$

$-(x 5 - 2 x 3) ⟹ 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x + 6$

$-(2 x 3 - 4 x) ⟹ -3 x 2 + 6$

$-(-3 x 2 + 6) ⟹ 0$

Po posledním odečtení vyšel nulový mnohočlen — dělili jsme beze zbytku.

Ověření správnosti — zpětné vynásobení výsledku dělitelem musí dát zpět původní dělenec:

$(x 3 + 2 x - 3)(x 2 - 2) = x 5 - 2 x 3 + 2 x 3 - 4 x - 3 x 2 + 6 = x 5 - 3 x 2 - 4 x + 6 ✓$

Nejčastější problém: dělení členů s nejvyššími mocninami (mocnina podílu se s každým krokem musí snížit o jedna) a odčítání mnohočlenů po zpětném násobení — dejte si pozor na znaménka.

Příklady

1. Vydělte $(2 x 3 + 5 x 2 - 5 x + 1) : (2 x - 1)$ .

Výsledek: x²+3x-1 (beze zbytku). Ověření: (2x-1)(x²+3x-1) = 2x³+6x²-2x-x²-3x+1 = 2x³+5x²-5x+1 ✓

2. Vydělte $(6 x 6 - 8 x 5 + 14 x 4 - 21 x 3 + 3 x 2 + 8 x - 14) : (3 x 3 - x 2 + 2)$ .

Výsledek: 2x³-2x²+4x-7 (beze zbytku). Ověření zpětným násobením souhlasí se zadaným dělencem

3. Vydělte $(x 6 - 2 x 4 + x 3 - 2 x + 5) : (x 3 + x - 2)$ . (Pozor: mnohočleny jsou v zadání úmyslně neseřazené podle mocnin — nejdřív je seřaďte sestupně, teprve pak dělte.)

Výsledek: po seřazení: (x⁶-2x⁴+x³-2x+5):(x³+x-2) = x³-3x+3 se zbytkem 3x²-11x+11 (zbytek má nižší stupeň než dělitel, dál už nejde dělit); úplný zápis: podíl + zbytek/dělitel = x³-3x+3 + (3x²-11x+11)/(x³+x-2)

Zdroje

Zdrojový dokument: mat/05 Dělení mnohočlenů.pdf