Množiny

Množinou rozumíme souhrn nějakých předmětů (objektů). Předměty, jejichž souhrn vytváří danou množinu, nazýváme prvky (elementy) této množiny.

K vyjádření, že x je prvkem množiny A, používáme zápis x∈A; že x není prvkem A, zapisujeme x∉A.

Zápis množiny

Množinu určujeme buď výčtem prvků, nebo charakteristickou vlastností jejích prvků.

Při výčtu prvků nezáleží na pořadí a každý prvek musí být uveden právě jednou. Množinu obsahující čísla 1, 2, 3 lze zapsat A={1,2,3}, ale stejně dobře i A={2,3,1} nebo A={3,1,2}.

Prázdná množina neobsahuje žádný prvek, značíme ji ∅. Příkladem je množina všech přirozených čísel menších než 1 (žádné přirozené číslo touto vlastností nedisponuje).

Určujeme-li množinu charakteristickou vlastností, uvádíme takovou vlastnost, kterou mají všechny prvky dané množiny a žádný jiný prvek ji nemá. Např. A={1,2,3} lze zapsat i jako:

A={x∈N; x<4}

Množiny s nekonečně mnoha prvky (např. C={x∈N; x>3}) lze zapsat jen charakteristickou vlastností — výčet by nikdy neskončil.

Množina s konečným počtem prvků se nazývá konečná, s nekonečným počtem nekonečná. Mezi nekonečné množiny patří N (přirozená čísla), Z (celá čísla), Q (racionální čísla) a R (reálná čísla) — ale i množina A={x∈R; 1≤x≤2} je nekonečná (obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel mezi 1 a 2).

Podmnožina

Množina B je podmnožinou množiny A (zapisujeme B⊂A) právě tehdy, když je každý prvek množiny B zároveň prvkem množiny A.

N⊂Z⊂Q⊂R

Vždy platí: 1) A⊂A (množina je podmnožinou sama sebe); 2) ∅⊂A (prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny).

Je nutné rozlišovat prvky množiny a její podmnožiny. Pro A={1,2,3} jsou 1,2,3 jejími prvky, zatímco např. {1}, {2}, {1,2} jsou jejími podmnožinami.

Příklad: Zapište všechny podmnožiny množiny A={1,2,3}.

Výsledek: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} — celkem 8 podmnožin (obecně má množina o n prvcích 2ⁿ podmnožin, zde 2³=8)

Rovnost množin

Množiny A, B se rovnají (A=B) právě tehdy, když je každý prvek A zároveň prvkem B a zároveň každý prvek B je prvkem A.

Doplněk množiny

Je-li B podmnožinou A, definujeme doplněk množiny B v množině A (zapisujeme B′, případně A∖B) jako množinu všech prvků z A, které nepatří do B.

Příklad: Určete doplněk množin A={x∈Z; x<1}, B={x∈Z; ∣x∣>0} a N v množině Z.

Výsledek: A’ = {x∈ℤ; x≥1} (celá čísla, která NEJSOU menší než 1); B = ℤ{0} (nenulová celá čísla), tedy B’ = {0}; ℕ’ = {x∈ℤ; x≤0} (nekladná celá čísla — používáme konvenci ℕ={1,2,3,…} bez nuly, viz úvodní příklad prázdné množiny)

Průnik množin

Průnik množin A, B (zapisujeme A∩B) je množina všech prvků, které patří zároveň do obou množin. Vždy platí ∅∩A=∅. Pokud A∩B=∅, nazýváme množiny A, B disjunktní.

Příklad: Určete průnik množin A, B:

1. A={1,2,5,8}, B={1,3,5,7}
2. A={x∈N; x>2}, B={x∈N; x<7}
3. A={x∈Z; x>−3}, B={x∈Z; x>−5}

Výsledek:

• 1) A∩B={1,5}
• 2) A∩B={3,4,5,6} = {x∈ℕ; 2<x<7}
• 3) protože x>-3 vždy implikuje x>-5, je A⊂B, tedy A∩B=A={x∈ℤ; x>-3}

Sjednocení množin

Sjednocení množin A, B (zapisujeme A∪B) je množina všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A, B.

Příklad: Určete sjednocení množin ze stejného zadání jako výše.

Výsledek:

• 1) A∪B={1,2,3,5,7,8}
• 2) každé přirozené číslo je buď >2, nebo <7 (nebo obojí) — sjednocení je celé ℕ
• 3) protože A⊂B, je A∪B=B={x∈ℤ; x>-5}

Rozdíl množin

Rozdíl množin A, B (zapisujeme A∖B) je množina všech prvků množiny A, které nejsou prvky množiny B.

Příklad: Určete rozdíl A∖B ze stejného zadání jako výše.

Výsledek:

• 1) A\B={2,8}
• 2) A\B={x∈ℕ; x>6} (prvky A, které nejsou v B — tedy přirozená čísla větší než 2, která zároveň nejsou menší než 7)
• 3) protože A⊂B, je A\B=∅ (každý prvek A je i v B, nezbude nic)

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Množiny.pdf