Mocniny · MATURITKA

Pozn. k obsahu: U několika úloh (3b, 4, 5, 1i, 2i) se konkrétní výraz v zadání v PDF ztratil (zůstala jen prázdná mezera po dvojtečce) — u většiny šlo přesně zrekonstruovat zpětně z dochovaného postupu řešení (viz poznámky u jednotlivých úloh). U úloh 6 a 7 se bohužel ztratilo jak zadání, tak podstatná část řešení (zůstaly jen řetězce rovnítek bez čísel) — dochoval se jen konečný výsledek, přesný postup nelze rekonstruovat.

Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Mocniny

1) Zjednodušte výraz $4 x (4 x +1 - 3 \cdot 4 x)$ .

Podzim 2011, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: $4 2 x$ .

Řešení (1. způsob — nejdřív roznásobení závorky):

$4 x (4 x +1 - 3 \cdot 4 x) = 4 2 x +1 - 3 \cdot 4 2 x = 4 2 x \cdot 41 - 3 \cdot 4 2 x = 1 \cdot 4 2 x = 4 2 x$

Řešení (2. způsob — nejdřív výpočet uvnitř závorky):

$4 x (4 x +1 - 3 \cdot 4 x) = 4 x (4 x \cdot 41 - 3 \cdot 4 x) = 4 x \cdot 4 x = 4 2 x$

2) Vypočtěte $[10 4 - (8 \cdot 104 - 73 \cdot 103)] 2$ .

Podzim 2012, příklad č. 1. Body: 1. Výsledek: 9 000 000.

Řešení: $[10, 000 - (80, 000 - 73, 000)] 2 = (10, 000 - 7, 000) 2 = 3, 0002 = 9, 000, 000$ .

3) Přiřaďte k oběma výrazům jejich ekvivalentní vyjádření (A–E):

a) $(a -1 \cdot a 2) 3$ b) $(a -1 a -4 ) -2$

A) $a 3$ B) $a 4$ C) $a 6$ D) $a 8$ E) $a -6$

Jaro 2013, příklad č. 26.1, 26.2. Body: 2. Výsledek: a) A, b) C.

Řešení: a) $(a -1 \cdot a 2) 3 = (a 1) 3 = a 3$ (nebo: $(a -1) 3 \cdot (a 2) 3 = a -3 \cdot a 6 = a 3$ ).

b) $(a -1 a -4 ) -2 = (a -3) -2 = a 6$ (nebo: $(a -4) -2 : (a -1) -2 = a 8 : a 2 = a 6$ ).

4) Zjednodušte a vyjádřete jako mocninu celého čísla.

Podzim 2013, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: $3180$ .

((Pozn.: přesný tvar zadaného výrazu se nedochoval — z dochovaného mezikroku ” $\cdot3 120 = 360 \cdot 3120 = 3180$ ” je zřejmé, že šlo o výraz, který se nejdřív upraví na $360$ a poté vynásobí $3120$ , např. $930 \cdot 3120$ .))

Řešení: $930 \cdot 3120 = (3 2) 30 \cdot 3120 = 360 \cdot 3120 = 3180$ .

5) Vypočtěte jednu třetinu z $3 3 k +3$ , kde $k \in Z$ .

Jaro 2014, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: $3 3 k +2$ .

Řešení: $31 \cdot 3 3 k +3 = 3 -1 \cdot 3 3 k +3 = 3 3 k +2$ . (Rychleji: vypočítat třetinu znamená vydělit třemi, tedy snížit exponent mocniny o základu 3 o jedna.)

6) Pro $y \in R$ zjednodušte. (Zadání i většina postupu se v podkladu ztratily — dochoval se jen prázdný řetězec rovnítek bez čísel, konečný výsledek chybí také. Nelze rekonstruovat. Podzim 2015, příklad č. 2.)

7) Zjednodušte. (Přesné zadání se v podkladu ztratilo, dochoval se jen výsledek.)

Podzim 2016, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: $3100$ .

Ilustrační maturitní testy Cermatu

1i) Kolikrát větší je číslo $1017$ než součet čísel $3, 2 \cdot 1015$ a $8 \cdot 1014$ ?

2011, příklad č. 2. Body: 2. Výsledek: 25krát.

Řešení: $3, 2 \cdot 1015 + 8 \cdot 1014 = 1014 \cdot (3, 2 \cdot 10 + 8) = 1014 \cdot (32 + 8) = 1014 \cdot 40 = 4 \cdot 1015$ . Pak $1017 : (4 \cdot 1015) = 102 : 4 = 25$ .

2i) Vyjádřete jako jedinou mocninu se základem 2 výraz $2200 \cdot 2100 + 8100$ .

2012, příklad č. 6. Body: 2.

Řešení: $2200 \cdot 2100 + 8100 = 2300 + (2 3) 100 = 2300 + 2300 = 2 \cdot 2300 = 2301$ .

3i) Odečtěte: $3 x 102 \cdot x 100 - 2(x 99 \cdot x 103)$ .

2013, příklad č. 2. Body: 1. Výsledek: $x 202$ .

Řešení: $3 x 102 \cdot x 100 - 2(x 99 \cdot x 103) = 3 x 202 - 2 x 202 = x 202$ .

Zdroje

MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 3) Mocniny.pdf.

Zdroj: MATURITA HADR/Matematika/řešené postupy matematických okruhů z DT 2010 - 2017/3) Mocniny.pdf