Implikace a ekvivalence

Implikace

Implikace libovolných výroků $a$ , $b$ je výrok, který vznikne jejich spojením obratem jestliže…, pak…. Výrok “jestliže $a$ , pak $b$ ” zapisujeme $a \Rightarrow b$ , čteme také “z $a$ plyne $b$ ” nebo “ $a$ implikuje $b$ ”. Výrok $a$ nazýváme předpoklad, výrok $b$ závěr.

$a$	$b$	$a \Rightarrow b$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Implikace $a \Rightarrow b$ je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé oba výroky $a$ , $b$ , nebo když je výrok $a$ nepravdivý (a $b$ je jakýkoli). Implikace je nepravdivá jedině tehdy, je-li pravdivý předpoklad $a$ a nepravdivý závěr $b$ — tedy když pravdivý předpoklad vede k nepravdivému závěru.

Příklad:
$a$ : Číslo 5 je prvočíslo.
$b$ : Číslo 5 je sudé.
$c$ : Číslo 5 je liché.
$d$ : Číslo 5 je záporné.
Utvořte implikace $a \Rightarrow d$ , $a \Rightarrow c$ , $b \Rightarrow c$ , $b \Rightarrow d$ a určete jejich pravdivost.

Výsledek: a=T, b=F, c=T, d=F; a⇒d: T⇒F = NEPRAVDIVÝ; a⇒c: T⇒T = PRAVDIVÝ; b⇒c: F⇒T = PRAVDIVÝ (nepravdivý předpoklad); b⇒d: F⇒F = PRAVDIVÝ (nepravdivý předpoklad)

U konjunkce $a \land b$ i disjunkce $a \lor b$ lze pořadí výroků zaměnit beze změny pravdivosti. U implikace tomu tak není! Implikace $b \Rightarrow a$ se nazývá obrácená implikace.

Například: Implikace “Je-li trojúhelník rovnostranný, pak je rovnoramenný” je pravdivá, ale obrácená implikace “Je-li trojúhelník rovnoramenný, pak je rovnostranný” je nepravdivá (existuje rovnoramenný trojúhelník, který rovnostranný není).

Příklad: Vyšetřete pravdivost implikací (pro libovolné výroky $a$ , $b$ ):

$a \Rightarrow (a \lor b)$
$(a \lor b) \Rightarrow a$
$(a \lor b) \Rightarrow (a \land b)$

Výsledek:

1) tabulka dává T,T,T,T pro všechny kombinace a,b → TAUTOLOGIE (vždy pravdivý, bez ohledu na a,b)
2) T,T,F,T → nepravdivý jen když a je nepravdivé a b pravdivé, jinak pravdivý
3) T,F,F,T → pravdivý pouze když a,b mají stejnou pravdivostní hodnotu (oba pravdivé nebo oba nepravdivé)

Ekvivalence

Ekvivalence libovolných výroků $a$ , $b$ je konjunkce implikace $a \Rightarrow b$ a obrácené implikace $b \Rightarrow a$ , tedy výrok $(a \Rightarrow b) \land (b \Rightarrow a)$ . Zapisujeme $a \Leftrightarrow b$ , čteme “ $a$ je ekvivalentní s $b$ ” nebo “ $a$ platí právě tehdy, když platí $b$ ”.

$a$	$b$	$a \Rightarrow b$	$b \Rightarrow a$	$a \Leftrightarrow b$
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Ekvivalence $a \Leftrightarrow b$ je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky $a$ , $b$ pravdivé, nebo oba nepravdivé.

Příklad: Rozhodněte, zda jsou výroky $a \Rightarrow b$ a $\neg b \Rightarrow \neg a$ ekvivalentní.

Výsledek: sestavením tabulky pro všechny kombinace a,b vyjde a⇒b i ¬b⇒¬a shodně T,F,T,T — jsou tedy EKVIVALENTNÍ. (¬b⇒¬a se nazývá obměněná implikace/kontrapozice — je vždy logicky ekvivalentní s původní implikací a⇒b, na rozdíl od obrácené implikace b⇒a, která ekvivalentní být nemusí.)

Příklad: Vašek, náčelník Siouxů, prohlásil: “Je-li druhá odmocnina z deseti menší než tři, pak jsem náčelníkem Siouxů.” Posuďte pravdivost této implikace, utvořte implikaci obrácenou a obměněnou a posuďte i jejich pravdivost.

Výsledek: a: “√10<3” je NEPRAVDIVÝ výrok (√10≈3,162>3); b: “jsem náčelníkem Siouxů” je PRAVDIVÝ (dáno zadáním). Původní implikace a⇒b: F⇒T = PRAVDIVÁ (nepravdivý předpoklad → implikace automaticky pravdivá, i když spolu tvrzení věcně nesouvisí). Obrácená b⇒a: T⇒F = NEPRAVDIVÁ. Obměněná ¬b⇒¬a: ¬b=F, ¬a=T, F⇒T = PRAVDIVÁ (shoduje se s původní, jak očekáváno)

Příklad:
$a$ : $\sqrt 20 > 4$ .
$b$ : $- \sqrt 20 < -4$ .
Posuďte pravdivost výroků $a \Rightarrow b$ , $b \Rightarrow a$ , $\neg a \Rightarrow \neg b$ .

Výsledek: √20≈4,472, tedy a je PRAVDIVÝ (4,472>4) a b je PRAVDIVÝ (-4,472<-4, protože násobení/porovnání záporným číslem obrací nerovnost stejně jako u a). a⇒b: T⇒T=PRAVDIVÝ; b⇒a: T⇒T=PRAVDIVÝ; ¬a⇒¬b: F⇒F=PRAVDIVÝ — všechny tři jsou pravdivé

Tautologie

Příklad: Určete, které z následujících výroků jsou tautologie (tedy pravdivé pro VŠECHNY kombinace pravdivostních hodnot $a$ , $b$ ):

a) $(a \land b) \Leftrightarrow (\neg a \lor \neg b)$
b) $(a \Leftrightarrow b) \Leftrightarrow (\neg a \Leftrightarrow \neg b)$
c) $(a \Rightarrow b) \Rightarrow (\neg a \Rightarrow \neg b)$

Výsledek:

a) NENÍ tautologie (pro a=T,b=T vyjde a∧b=T, ale ¬a∨¬b=F, takže T⇔F=F)
b) JE tautologie (vyjde T pro všechny 4 kombinace a,b)
c) NENÍ tautologie (pro a=F,b=T vyjde a⇒b=T, ale ¬a⇒¬b=T⇒F=F, takže T⇒F=F)

Další příklady

1. Určete, jak závisí pravdivost výroků na pravdivostních hodnotách $a$ , $b$ :

a) $a \Rightarrow (a \land b)$
b) $(a \land b) \Rightarrow b$
c) $(a \land b) \Rightarrow (a \lor b)$

Výsledek:

a) nepravdivý pouze když a je pravdivé a b nepravdivé, jinak pravdivý
b) TAUTOLOGIE (vždy pravdivý)
c) TAUTOLOGIE (vždy pravdivý)

2. Vyšetřete pravdivost výroků v závislosti na pravdivosti $a$ , $b$ :

a) $a \Leftrightarrow (a \land b)$
b) $a \Leftrightarrow (a \lor b)$
c) $(a \lor b) \Leftrightarrow (a \land b)$

Výsledek:

a) nepravdivý jen když a je pravdivé a b nepravdivé
b) nepravdivý jen když a je nepravdivé a b pravdivé
c) pravdivý jen když a,b mají stejnou pravdivostní hodnotu (jinak řečeno, je logicky totéž jako a⇔b)

3. Vyšetřete pravdivost výroku $(a \Rightarrow b) \Leftrightarrow [(b \Rightarrow a) \lor (\neg a \Rightarrow b)]$ v závislosti na $a$ , $b$ .

Výsledek: sestavením tabulky pro všechny 4 kombinace vyjde T,F,T,T — výrok je nepravdivý pouze když a je pravdivé a b nepravdivé, jinak pravdivý

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Implikace a ekvivalence.pdf