Součet a rozdíl vektorů

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) a odkaz na chybějící obrázek (“Grafický součet a rozdíl vektorů”) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Součet vektorů

Vektory sčítáme po souřadnicích — součet vektorů $u ⃗ = (u 1 ; u 2 )$ a $v ⃗ = (v 1 ; v 2 )$ je vektor:

$u ⃗ + v ⃗ = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 )$

Graficky součet vektorů odpovídá úhlopříčce rovnoběžníku sestrojeného z obou vektorů (tzv. rovnoběžníkové pravidlo) — nebo ekvivalentně: vektor $v ⃗$ přiložíme počátkem k konci vektoru $u ⃗$ , výsledný součet vede z počátku $u ⃗$ do konce takto přiloženého $v ⃗$ .

u=(3;1), v=(1;3), u+v=(4;4)

Příklad: Pro $u ⃗ = (3; 1)$ a $v ⃗ = (1; 3)$ je:

$u ⃗ + v ⃗ = (3 + 1; 1 + 3) = (4; 4)$

Rozdíl vektorů

Rozdíl vektorů se počítá stejně, jen po souřadnicích odečítáme:

$u ⃗ - v ⃗ = (u 1 - v 1 ; u 2 - v 2 )$

Graficky $u ⃗ - v ⃗$ odpovídá druhé úhlopříčce téhož rovnoběžníku — vektoru vedoucímu z konce $v ⃗$ do konce $u ⃗$ (jsou-li oba vektory přiloženy do společného počátku).

Příklad: Pro $u ⃗ = (3; 1)$ a $v ⃗ = (1; 3)$ je:

$u ⃗ - v ⃗ = (3 - 1; 1 - 3) = (2; -2)$

Příklady

1. Jsou dány vektory $a ⃗ = (2; -3)$ , $b ⃗ = (-5; 4)$ . Vypočítejte $a ⃗ + b ⃗$ a $a ⃗ - b ⃗$ .

Výsledek: a+b = (2+(-5); -3+4) = (-3;1); a-b = (2-(-5); -3-4) = (7;-7)

2. Vypočítejte $2 a ⃗ - 3 b ⃗$ pro $a ⃗ = (1; 2)$ , $b ⃗ = (-1; 3)$ .

Výsledek: 2a=(2;4); 3b=(-3;9); 2a-3b=(2-(-3); 4-9)=(5;-5)

3. Body $A = [1; 1]$ , $B = [4; 1]$ , $C = [5; 4]$ jsou tři vrcholy rovnoběžníku $A B C D$ . Pomocí toho, že u rovnoběžníku platí $A B = D C$ , určete souřadnice vrcholu $D$ .

Výsledek: AB = B-A = (3;0); z AB=DC plyne D = C-AB = (5-3; 4-0) = [2;4]

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.