Pozn. k obsahu: Rovnice byly v PDF vysázené jako rovnicové objekty, které se při převodu z větší části ztratily — u úloh 1, 3 a 1i) šlo přesné znění zpětně rekonstruovat z dochovaného postupu řešení a přepočtem ověřit shodu s dochovaným výsledkem.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
1) Pro x∈R, y∈R∖0 je dána soustava rovnic:
yx=42x−5y=−3
a) Vypočtěte hodnotu neznámé x. b) Vypočtěte hodnotu neznámé y.
Podzim 2012, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: a) x=−4, b) y=−1.
Řešení: z první rovnice /⋅y: x=4y, tedy x−4y=0 /⋅(−2): −2x+8y=0. Sečteme s druhou rovnicí:
−2x+8y=0 2x−5y=−3 3y=−3
y=−1; dosazením x=4y=4⋅(−1)=−4. Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [−4;−1].
(Pozn.: soustavu lze řešit i jinými způsoby, např. dosazovací metodou.)
2) Přiřaďte každé soustavě rovnic a)–d) (kde x,y∈R) množinu všech řešení:
a) 2x=0, 2y−4=2(y−2) b) x−2y=4, 2x−y=2 c) −x+2y−1=0, x−2y=0 d) x=y+2, y=x−2
A) ∅ B) [2;0] C) [0;2] D) [0;−2] E) [0;y], y∈R F) jiná množina
Jaro 2014, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) E, b) D, c) A, d) F.
Řešení: a) 2x=0 /:2⟹x=0. Druhá rovnice: 2y−4=2(y−2)⟹2y−4=2y−4⟹0=0 — pravdivá rovnost pro každé y. Řešení: [0;y], y∈R (ověřitelné zkouškou např. pro [0;1415]).
b) x−2y=4, 2x−y=2 /⋅(−2): −4x+2y=−4. Sečteme: x−2y=4 a −4x+2y=−4 dává −3x=0⟹x=0. Dosazením: 0−2y=4⟹y=−2. Řešení: [0;−2].
c) −x+2y−1=0⟹−x+2y=1; x−2y=0. Sečteme: 0=1 — nepravdivá rovnost, soustava nemá řešení.
d) x=y+2⟹x−y=2; y=x−2⟹−x+y=−2. Sečteme: 0=0 — pravdivá rovnost, soustava má nekonečně mnoho řešení. Pozor — řešením není libovolná dvojice (např. [1;4] zkoušku nesplní), ale jen dvojice tvaru [x;x−2], x∈R nebo rovnocenně [y+2;y], y∈R.
3) Pro x∈R, y∈R∖0 řešte:
yx+1=42x−4y=−6
Podzim 2014, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: K=[−5;−1].
Řešení: z první rovnice /⋅y: x+1=4y⟹x−4y=−1⟹x=−1+4y. Dosadíme do druhé: 2(−1+4y)−4y=−6⟹−2+8y−4y=−6⟹4y=−4⟹y=−1. Pak x=−1+4⋅(−1)=−5. Řešením soustavy je [−5;−1].
(Pozn.: soustavu lze řešit i jinými způsoby, např. sčítací metodou.)
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) V R2 řešte soustavu rovnic:
1−2x=11−y5−6=0
2014 (2), příklad č. 5. Body: 3. Výsledek: K=\left[0;61]\right; podmínky y=1.
Řešení: z první rovnice: −2x=0⟹x=0. Dosadíme do druhé rovnice, /⋅(1−y): 5−6(1−y)=0⟹5−6+6y=0⟹6y=1⟹y=61. Řešením soustavy je [0;61].
(Pozn.: po úpravě druhé rovnice lze soustavu řešit i sčítací metodou.)
Zkouška: L1=1−2⋅0=1=P1 ✓. L2=1−615−6=655−6=6−6=0=P2 ✓.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 10) Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých.pdf.