Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky, u kterých se řešení objevovalo až po kliknutí — tato mezikroková čísla se při převodu ztratila (zůstal jen nadpis typu “Výpočet” bez čísel). Doplněno a nezávisle přepočítáno.
K-členné variace bez opakování jsou k-členné skupiny utvořené z daných n prvků tak, že v nich záleží na pořadí a žádný z prvků se v nich neopakuje.
Úvodní příklad
Kolika způsoby lze mezi osm finalistů závodu rozdělit zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili (nepředpokládáme dva závodníky se zcela stejným výsledkem)?
Řešení: Kolika způsoby můžeme vytvořit uspořádanou trojici z osmi prvků? Záleží na pořadí!
8⋅7⋅6=336
Jde o tříčlennou variaci z osmi prvků.
Variace bez opakování
k-členná variace z n prvků bez opakování je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se každý z nich vyskytuje nejvýše jednou.
V(k,n)=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯(n−k+1)=(n−k)!n!
Příklad — vypsání všech variací
Vytvořte všechny tříčlenné variace bez opakování ze čtyř prvků a,b,c,d.
V(3,4)=1!4!=4⋅3⋅2=24
abc, bac, cab, dab, acb, bca, cba, dba, abd, bcd, cad, dbc, adb, bdc, cda, dcb, acd, bad, cbd, dac, adc, bda, cdb, dca — celkem přesně 24 trojic, jak vzorec předpověděl.
Úloha
K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky v barvě bílé, červené, modré, zelené a žluté (celkem 5 barev).
a) Určete počet vlajek, které lze sestavit.
Vybíráme uspořádanou trojici barev z pěti — záleží na pořadí (pruhy jsou na různých pozicích), barvy se neopakují.
V(3,5)=5⋅4⋅3=60
b) Kolik z nich má modrý pruh?
Použijeme doplněk: od celkového počtu odečteme vlajky, které modrou barvu vůbec neobsahují (vybírané jen ze zbylých 4 barev).
60−V(3,4)=60−4⋅3⋅2=60−24=36
c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed?
Prostřední pozici má pevně modrá barva (1 možnost), zbylé dvě pozice se vyberou uspořádaně ze zbylých 4 barev.
1⋅V(2,4)=4⋅3=12
d) Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?
Počet vlajek s červeným pruhem uprostřed je stejný jako počet vlajek s modrým pruhem uprostřed (barvy jsou zaměnitelné) =12. Kombinatorickým pravidlem součtu/doplňku:
60−12=48
Permutace
Permutace z n prvků je speciální případ variace bez opakování, kde k=n — je to uspořádaná n-tice sestavená ze všech n prvků, každý použitý právě jednou. Počet permutací:
P(n)=n!
Úloha
Vypočítejte, kolika různými způsoby můžeme rozesadit šest lidí na šest židlí.
Řešení: Jde o permutaci šesti prvků.
P(6)=6!=720
Zdroje
CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.