Úprava výrazů s goniometrickými funkcemi

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala konkrétní zadání všech ukázkových příkladů i cvičení vložená jako obrázky/rovnice, která se při převodu ztratila beze zbytku (zůstaly jen popisky “Zjednodušte:” bez samotného výrazu). Teorie a vzorce jsou rekonstruované věrně podle zachovaného textu (včetně opravy tg/cotg vzorců, kde OCR ztratilo zlomky); konkrétní příklady níže jsou nově vytvořené tak, aby používaly přesně tytéž vzorce, které prezentace uváděla.

Osnova

a) pojem výraz s goniometrickými funkcemi, b) vzorce a vztahy pro řešení, c) ukázkové příklady, d) příklady na procvičení včetně řešení.

Výraz s goniometrickými funkcemi

Výraz je matematický zápis, ve kterém jsou čísla a písmena (proměnné) spojovaná znaky operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocnění, odmocnění), případně závorkami.

Výraz s goniometrickými funkcemi je výraz, ve kterém se vyskytují goniometrické funkce ( $sin$ , $cos$ , $t g$ , $cot g$ ).

Vzorce a vztahy k řešení výrazů

Algebraické vzorce:

$(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$

$(a - b) 2 = a 2 - 2 ab + b 2$

$a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$

Goniometrické vztahy:

$sin 2 x + cos 2 x = 1$

$t g x = cos x sin x $

$cot g x = sin x cos x $

$t g x \cdot cot g x = 1$

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

$cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x$

Ukázkové příklady

a) Zjednodušte $sin 2 x + cos 2 x + t g x \cdot cot g x$ .

Použijeme rovnou dva vztahy: $sin 2 x + cos 2 x = 1$ a $t g x \cdot cot g x = 1$ .

$= 1 + 1 = 2$

b) Zjednodušte $(sin x + cos x) 2 - sin 2 x$ .

Roznásobíme vzorcem $(a + b) 2$ a použijeme $sin 2 x = 2 sin x cos x$ :

$= sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x - 2 sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x = 1$

Graf potvrzuje, že výraz vychází pro každé $x$ stejně — je to vodorovná přímka $y = 1$ , přestože zápis vypadá jako složitá funkce proměnné $x$ :

y = (sin x + cos x)² − sin 2x = 1 pro každé x

c) Zjednodušte $(cos x - sin x)(cos x + sin x)$ .

Použijeme vzorec $a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ „pozpátku”:

$= cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x$

Příklady na procvičení

Příklad 1: Zjednodušte $t g x \cdot sin x \cdot cos x$ .

Výsledek: tg x = sin x/cos x, takže výraz = (sin x/cos x)·sin x·cos x = sin²x

Příklad 2: Zjednodušte $1 - sin 2 x$ .

Výsledek: přímo ze vztahu sin²x + cos²x = 1 plyne 1 − sin²x = cos²x

Příklad 3: Zjednodušte $(sin x - cos x) 2 + sin 2 x$ .

Výsledek: roznásobením (a−b)²: sin²x − 2sinx·cosx + cos²x + 2sinx·cosx = sin²x + cos²x = 1

Příklad 4: Zjednodušte $cos 2 x \cdot t g 2 x$ .

Výsledek: tg²x = sin²x/cos²x, takže výraz = cos²x · sin²x/cos²x = sin²x

Příklad 5: Zjednodušte $2 cos x sin 2 x $ (pro $cos x \neq = 0$ ).

Výsledek: sin2x = 2sinx·cosx, takže výraz = (2sinx·cosx)/(2cosx) = sin x

Shrnutí

Výraz s goniometrickými funkcemi je matematický zápis obsahující $sin$ , $cos$ , $t g$ nebo $cot g$ , který se má zjednodušit.
Klíčové vztahy k úpravě: $sin 2 x + cos 2 x = 1$ ; $t g x = sin x / cos x$ ; $cot g x = cos x / sin x$ ; $t g x \cdot cot g x = 1$ ; $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ; $cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x$ .

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6

Pracovní plocha

Piš sem myší, prstem nebo perem… Dva prsty posouvají a přibližují, ťuknutí dvěma prsty vrátí krok. Shift = rovná čára.

Výsledek:

Zdroj: matematika/TY01_0213_-_Uprava_vyrazu_s_goniometrickymi_funkcemi.pptx