Kvadratická funkce

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily. Text, vzorce a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované.

Osnova

a) pojem kvadratická funkce, b) graf a vlastnosti, c) vrchol grafu kvadratické funkce a jeho určení, d) působení koeficientů kvadratické funkce na graf, e) ukázkové příklady, f) příklady na procvičení včetně řešení.

Předpis kvadratické funkce: $f : y = ax 2 + bx + c$ , kde koeficienty $a, b, c \in R$ a $a \neq = 0$ .

$ax 2$ — kvadratický člen
$bx$ — lineární člen
$c$ — absolutní člen

Pozn.: pokud by bylo $a = 0$ , nejde o kvadratickou funkci, ale o lineární.

Definiční obor $D (f) = R$ (pokud není v úloze zadán jinak). Obor hodnot $H (f)$ závisí na konkrétní funkci (na koeficientech a definičním oboru).

Graf a vlastnosti

Grafem kvadratické funkce je parabola. Tvar paraboly závisí na koeficientu $a$ :

a > 0 — parabola otevřená nahoru (y = x²)

a < 0 — parabola otevřená dolů (y = −x²)

Minimum / maximum — hodnota, ve které má funkce nejnižší (resp. nejvyšší) bod; určuje se na ose x (např. „minimum v x = 2”).
Omezenost zdola / shora — hodnota, ve které je funkce zdola (resp. shora) omezená; určuje se na ose y (např. „omezená zdola, y = −3”).
Monotónnost — graf kvadratické funkce má vždy dva úseky monotónnosti: na jednom roste, na druhém klesá. Bodem, kde se monotónnost mění, je vrchol grafu.

Vrchol grafu a jeho určení

Vrchol grafu kvadratické funkce označujeme $V$ — je to bod, ve kterém se monotónnost láme na opačnou. Souřadnice vrcholu lze určit dvěma způsoby:

a) pomocí vzorce:

$V = [- 2 a b ; - 4 a D ], D = b 2 - 4 ac$

b) úpravou na čtverec: pokud $f : y = a (x + m) 2 + n$ , pak $V = [- m; n]$ .

Působení koeficientů na funkci

koeficient $a$ (ve funkci $y = ax 2$ ): rozšiřuje či zužuje graf — čím větší $∣ a ∣$ , tím je parabola „štíhlejší”.
koeficient $b$ (ve funkci $y = ax 2 + bx$ ): graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic $[0; 0]$ , protože pro $x = 0$ je $y = 0$ .
koeficient $c$ (ve funkci $y = ax 2 + c$ ): posouvá celý graf $y = ax 2$ svisle — vrchol grafu se pohybuje po ose y.

Ukázkový příklad

Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce $f : y = - x 2 + 3 x$ .

Určíme koeficienty: $a = -1, b = 3, c = 0$ .

Vyřešíme souřadnice vrcholu (dosazením do vzorce): $V = [23 ; 49 ]$ .

Sestavíme tabulku (minimálně 3 body, ideálně kolem vrcholu):

x	−1	0	3/2	3	4
y	−4	0	9/4	0	−4

y = −x² + 3x

Vlastnosti: maximum v $x = 23 $ (hodnota $y = 49 $ ), omezenost shora $y = 49 $ , monotónnost: funkce roste na $(-\infty; 23 )$ a klesá na $(23 ; +\infty)$ .

Příklady na procvičení

Příklad 1: Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce $f : y = 2 x 2 + 3$ .

x	−2	−1	0	1	2
y	11	5	3	5	11

y = 2x² + 3

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

minimum: v x = 0, tedy y = 3
omezenost: zdola, y = 3
monotónnost: klesá na (−∞;0), roste na (0;+∞)

Příklad 2: Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce $f : y = x 2 - 2 x - 6$ .

x	−1	0	1	2	3
y	−3	−6	−7	−6	−3

y = x² − 2x − 6

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

minimum: v x = 1, tedy y = −7
omezenost: zdola, y = −7
monotónnost: klesá na (−∞;1), roste na (1;+∞)

Shrnutí

Předpis kvadratické funkce: $f : y = ax 2 + bx + c$
Graf kvadratické funkce je parabola, jejíž tvar závisí na koeficientu $a$
Vrchol grafu kvadratické funkce lze určit vzorcem nebo úpravou na čtverec
Vlastnosti kvadratické funkce: maximum × minimum, omezenost shora × zdola, monotónnost rostoucí × klesající

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6