Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala vzorce a obrázky vložené jako grafické objekty a používala animované odrážky (postupně se odkrývající text) — obojí se při převodu ztratilo. Definice a vzorce jsou níže doplněny v textové podobě; konkrétní zadání cvičení v prezentaci nebyla v textu obsažena přímo, takže je nelze rekonstruovat.
Kružnice je jedna z kuželoseček (viz Kuželosečky) — vznikne jako řez kuželové plochy rovinou kolmou na její osu.
Definice a rovnice kružnice
Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu — středu kružnice — danou vzdálenost — poloměr kružnice.
Pokud je střed kružnice umístěn v počátku souřadnic S=[0;0], rovnici kružnice o poloměru r odvodíme z Pythagorovy věty pro libovolný bod X=[x;y] na kružnici:
x2+y2=r2
Pokud má střed kružnice obecné souřadnice S=[m;n], předchozí rovnici upravíme posunutím o vektor (m;n):
(x−m)2+(y−n)2=r2
Toto je tzv. středový tvar rovnice kružnice.
Obecná rovnice kružnice
Roznásobením středového tvaru dostaneme obecnou rovnici kružnice:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Chceme-li z ní zpět zjistit střed a poloměr, doplníme na obou stranách výrazy s x a y na čtverec (viz Kvadratická funkce):
(x+2D)2+(y+2E)2=4D2+E2−F
Odtud S=[−2D;−2E] a r=√4D2+E2−F (pravá strana musí vyjít kladná, jinak rovnice žádnou kružnici nepopisuje).
Příklad: Určete střed a poloměr kružnice x2+y2−4x+6y−3=0.
⟹⟹(x2−4x)+(y2+6y)=3(x−2)2−4+(y+3)2−9=3(x−2)2+(y+3)2=16
Tedy S=[2;−3], r=4.
Vzájemná poloha kružnice a přímky
V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy kružnice k a přímky p. Rozlišujeme je podle toho, kolik mají společných bodů:
- vnější přímka — nemají žádný společný bod
- tečna — mají jeden společný bod (přímka se kružnice dotýká)
- sečna — mají dva společné body (přímka kružnici protíná)
O tom, který z případů nastává, rozhoduje vzdálenost středu kružnice od přímky p (viz Obecná rovnice přímky) v porovnání s poloměrem r: je-li vzdálenost větší než r, jde o vnější přímku; je-li rovna r, jde o tečnu; je-li menší než r, jde o sečnu.
Příklady
1. Napište středový tvar rovnice kružnice se středem S=[2;−3] a poloměrem r=5.
Výsledek: (x-2)²+(y+3)²=25
2. Určete střed a poloměr kružnice (x+1)2+(y−4)2=9.
Výsledek: S=[-1;4], r=3
3. Určete střed a poloměr kružnice x2+y2+2x−8y+8=0.
Výsledek: (x²+2x)+(y²-8y)=-8 → (x+1)²-1+(y-4)²-16=-8 → (x+1)²+(y-4)²=9; S=[-1;4], r=3
4. Kružnice má střed S=[0;0] a poloměr r=5. Rozhodněte o vzájemné poloze této kružnice a přímky 3x+4y−25=0.
Výsledek: vzdálenost středu od přímky: d=|3·0+4·0-25|/√(3²+4²)=25/5=5=r → přímka je tečna
5. Kružnice má střed S=[0;0] a poloměr r=5. Rozhodněte o vzájemné poloze této kružnice a přímky 3x+4y−10=0.
Výsledek: d=|3·0+4·0-10|/5=10/5=2<r=5 → přímka je sečna
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.