Kružnice · MATURITKA

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala vzorce a obrázky vložené jako grafické objekty a používala animované odrážky (postupně se odkrývající text) — obojí se při převodu ztratilo. Definice a vzorce jsou níže doplněny v textové podobě; konkrétní zadání cvičení v prezentaci nebyla v textu obsažena přímo, takže je nelze rekonstruovat.

Kružnice je jedna z kuželoseček (viz Kuželosečky) — vznikne jako řez kuželové plochy rovinou kolmou na její osu.

Definice a rovnice kružnice

Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu — středu kružnice — danou vzdálenost — poloměr kružnice.

Pokud je střed kružnice umístěn v počátku souřadnic $S = [0; 0]$ , rovnici kružnice o poloměru $r$ odvodíme z Pythagorovy věty pro libovolný bod $X = [x; y]$ na kružnici:

$x 2 + y 2 = r 2$

Pokud má střed kružnice obecné souřadnice $S = [m; n]$ , předchozí rovnici upravíme posunutím o vektor $(m; n)$ :

$(x - m) 2 + (y - n) 2 = r 2$

Toto je tzv. středový tvar rovnice kružnice.

(x-2)² + (y+1)² = 9 (S=[2;-1], r=3)

Obecná rovnice kružnice

Roznásobením středového tvaru dostaneme obecnou rovnici kružnice:

$x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0$

Chceme-li z ní zpět zjistit střed a poloměr, doplníme na obou stranách výrazy s $x$ a $y$ na čtverec (viz Kvadratická funkce):

$(x + 2 D ) 2 + (y + 2 E ) 2 = 4 D 2 + E 2 - F$

Odtud $S = [- 2 D ; - 2 E ]$ a $r = \sqrt 4 D 2 + E 2 - F $ (pravá strana musí vyjít kladná, jinak rovnice žádnou kružnici nepopisuje).

Příklad: Určete střed a poloměr kružnice $x 2 + y 2 - 4 x + 6 y - 3 = 0$ .

$(x 2 - 4 x) + (y 2 + 6 y) = 3 ⟹ (x - 2) 2 - 4 + (y + 3) 2 - 9 = 3 ⟹ (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16$

Tedy $S = [2; -3]$ , $r = 4$ .

Vzájemná poloha kružnice a přímky

V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy kružnice $k$ a přímky $p$ . Rozlišujeme je podle toho, kolik mají společných bodů:

vnější přímka — nemají žádný společný bod
tečna — mají jeden společný bod (přímka se kružnice dotýká)
sečna — mají dva společné body (přímka kružnici protíná)

O tom, který z případů nastává, rozhoduje vzdálenost středu kružnice od přímky $p$ (viz Obecná rovnice přímky) v porovnání s poloměrem $r$ : je-li vzdálenost větší než $r$ , jde o vnější přímku; je-li rovna $r$ , jde o tečnu; je-li menší než $r$ , jde o sečnu.

Příklady

1. Napište středový tvar rovnice kružnice se středem $S = [2; -3]$ a poloměrem $r = 5$ .

Výsledek: (x-2)²+(y+3)²=25

2. Určete střed a poloměr kružnice $(x + 1) 2 + (y - 4) 2 = 9$ .

Výsledek: S=[-1;4], r=3

3. Určete střed a poloměr kružnice $x 2 + y 2 + 2 x - 8 y + 8 = 0$ .

Výsledek: (x²+2x)+(y²-8y)=-8 → (x+1)²-1+(y-4)²-16=-8 → (x+1)²+(y-4)²=9; S=[-1;4], r=3

4. Kružnice má střed $S = [0; 0]$ a poloměr $r = 5$ . Rozhodněte o vzájemné poloze této kružnice a přímky $3 x + 4 y - 25 = 0$ .

Výsledek: ||vzdálenost středu od přímky: d=|3·0+4·0-25|/√(3²+4²)=25/5=5=r → přímka je tečna||

5. Kružnice má střed $S = [0; 0]$ a poloměr $r = 5$ . Rozhodněte o vzájemné poloze této kružnice a přímky $3 x + 4 y - 10 = 0$ .

Výsledek: ||d=|3·0+4·0-10|/5=10/5=2<r=5 → přímka je sečna||

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.