Kulová výseč, kulová vrstva a kulový pás

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu. Vzorec pro objem kulové vrstvy v PDF zcela chyběl (nadpis bez textu) — doplněn standardním vzorcem, zpětně ověřeným na příkladu 3. Výsledky úkolů (kde byly v PDF uvedeny) ověřeny přepočtem, souhlasí.

Kulová výseč

Kulová výseč je prostorové těleso, které vznikne sjednocením kulové úseče a rotačního kužele — kužel má s kulovou úsečí společnou kruhovou podstavu (poloměr $ρ$ ) a jeho vrchol je ve středu příslušné koule. Hranicí tělesa je plášť tohoto kužele a kulový vrchlík.

$V = 32 π r 2 v$

kde $r$ je poloměr koule a $v$ výška kulového vrchlíku, který je součástí výseče. Povrch kulové výseče se skládá z povrchu kulového vrchlíku ( $S = 2 π r v$ , viz Koule, kulová plocha, kulová úseč a kulový vrchlík) a pláště kužele ( $S p l = π ρ r$ , protože stranou tohoto kužele je vždy poloměr koule $r$ ).

Kulová vrstva

Kulová vrstva je prostorové těleso, které vznikne průnikem koule se dvěma rovnoběžnými rovinami ve vzdálenosti menší než poloměr koule od jejího středu. Průsečnicemi obou rovin s koulí jsou dvě kruhové podstavy o poloměrech $ρ 1 $ a $ρ 2 $ ; vzdálenost mezi nimi (výšku vrstvy) značíme $v$ .

$V = 6 π v (3 ρ 12 + 3 ρ 22 + v 2)$

Kulová vrstva mezi řezy v = 4

Kulový pás

Kulový pás je prostorová plocha (jen povrch, ne vnitřek), která vznikne průnikem kulové plochy se dvěma rovnoběžnými rovinami ve vzdálenosti menší než poloměr od středu. Průsečnicemi jsou opět dvě kružnice o poloměrech $ρ 1 $ , $ρ 2 $ , výšku pásu značíme $v$ .

$S = 2 π r v$

kde $r$ je poloměr původní koule — stejně jako u kulového vrchlíku závisí povrch jen na $r$ a $v$ , ne na poloměrech kružnic.

Pozor: je-li dvojice rovin na opačných stranách středu koule, sčítají se jejich vzdálenosti od středu ( $v = d 1 + d 2 $ ); jsou-li na stejné straně, výška je jejich rozdíl ( $v = ∣ d 1 - d 2 ∣$ ).

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

V programu Cabri narýsujte kouli o poloměru $7 cm$ . Tuto kouli protněte rovinou ve vzdálenosti $4 cm$ od středu koule. Pomocí průsečnice (protnutí koule a roviny) a středu koule narýsujte plášť kužele, který bude součástí kulové výseče. Vypočtěte povrch tohoto pláště a výsledek ověřte v programu Cabri.

Výsledek: v = r-d = 7-4 = 3cm; ρ²=v(2r-v)=3·(14-3)=33 → ρ≈5,745cm; plášť kužele má stranu rovnou poloměru koule r=7cm, S_pl=πρr≈π·5,745·7≈126,35 cm²
V programu Cabri narýsujte kouli o poloměru $6 cm$ . Tuto kouli protněte dvěma rovnoběžnými rovinami ve vzdálenostech $3 cm$ a $4 cm$ od středu koule. Vzniknou nám 2 kruhové podstavy kulové vrstvy. Vypočtěte velikost poloměrů těchto podstav. Výsledek ověřte programem Cabri.

Výsledek: ρ₁=√(r²-d₁²)=√(36-9)=√27≈5,196cm; ρ₂=√(r²-d₂²)=√(36-16)=√20≈4,472cm

Příklady

1. Vypočtěte povrch kulového pásu, který vznikne z kulové plochy o poloměru $r = 5 cm$ . Poloměry kružnic, v nichž rovnoběžné roviny protínají kulovou plochu, jsou $ρ 1 = 4 cm$ a $ρ 2 = 3 cm$ .

Výsledek: ||d₁=√(r²-ρ₁²)=√(25-16)=3cm; d₂=√(r²-ρ₂²)=√(25-9)=4cm; roviny na stejné straně středu (obě kružnice menší než “rovník”): v=|d₁-d₂|=1cm; S=2πrv=2π·5·1=10π ≈ 31,42 cm²||

2. Vypočtěte objem kulové výseče, má-li kulová úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy $6 cm$ a výšku $2 cm$ .

Výsledek: nejprve poloměr koule z ρ²=v(2r-v): 36=2(2r-2) → r=10cm; V=(2/3)πr²v=(2/3)π·100·2=(400/3)π ≈ 418,879 cm³

3. Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy poloměry $8 cm$ a $6 cm$ a poloměr koule je $10 cm$ .

Výsledek: ||d₁=√(r²-ρ₁²)=√(100-64)=6cm; d₂=√(r²-ρ₂²)=√(100-36)=8cm; roviny na stejné straně: v=|d₁-d₂|=2cm; V=(πv/6)(3ρ₁²+3ρ₂²+v²)=(2π/6)(192+108+4)=(2π/6)·304=(304/3)π ≈ 318,35 cm³||