Pozn. k obsahu: PDF obsahovalo náčrtky trojúhelníků k jednotlivým úkolům, které se nedochovaly (jde o konstrukční úlohy — zadání i výsledky v hranatých závorkách zůstaly zachované a jsou zde přepsané jako spoilery). Odstraněna čísla stránek, která se vloudila do textu.
Trojúhelník je rovinný útvar se třemi vrcholy, stranami a třemi vnitřními úhly.
Značení: vrcholy velkými písmeny abecedy (A, B, C), strany malými písmeny abecedy (a, b, c — strana a leží naproti vrcholu A atd.), úhly písmeny řecké abecedy (α,β,γ — úhel α je u vrcholu A atd.).
Základní vlastnosti
1) Součet vnitřních úhlů:
α+β+γ=180°
2) Trojúhelníková nerovnost (rozhoduje, zda lze trojúhelník vůbec sestrojit) — musí platit současně:
a+b>c
a+c>b
b+c>a
(součet libovolných dvou stran musí být větší než strana třetí)
Úkol 1
a) Zjistěte, zda lze sestrojit trojúhelník o stranách a=8 cm,b=5 cm,c=14 cm.
Výsledek: a+b = 8+5 = 13 < 14 = c, trojúhelníková nerovnost neplatí — nelze sestrojit
b) Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jsou-li v poměru α:β:γ=3:4:5.
Výsledek: 3+4+5 = 12 dílů, 180°/12 = 15° na díl, tedy 45° : 60° : 75°
c) Určete vnitřní úhly trojúhelníku ABC, platí-li mezi nimi poměr 1:2:6.
Výsledek: 1+2+6 = 9 dílů, 180°/9 = 20° na díl, tedy 20° : 40° : 120°
3) Střední příčky — úsečky spojující středy stran; rozdělují trojúhelník na čtyři shodné (stejně velké) trojúhelníky.
Úkol 2
Sestrojte trojúhelník ABC o stranách a=8 cm,b=5 cm,c=12 cm. Vyznačte střední příčky tohoto trojúhelníku. Dokažte měřením, že vzniklé čtyři trojúhelníky mají stejný obvod, obsah a stejně velké strany.
4) Výšky trojúhelníku — kolmice jdoucí z vrcholu trojúhelníku na protější stranu (případně na její prodloužení). Značení: va,vb,vc.
5) Těžnice trojúhelníku — spojnice vrcholu se středem protější strany. Všechny tři těžnice se protínají v jednom bodě — těžišti T. Značení: ta,tb,tc.
Úkol 3
Sestrojte trojúhelník ABC, jehož všechny strany mají délku 6 cm (rovnostranný). Vyznačte na něm výšky a těžnice. Co lze z obrázku vyčíst? (Nápověda: u rovnostranného trojúhelníku výšky, těžnice i osy úhlů splývají.)
6) Rozdělení trojúhelníku podle stran: rovnostranný, rovnoramenný, různostranný (obecný).
7) Rozdělení trojúhelníku podle úhlů: pravoúhlý, ostroúhlý, tupoúhlý.
Úkol 4
Sestrojte alespoň jeden zástupce každého typu trojúhelníku podle úhlů (pravoúhlý, ostroúhlý, tupoúhlý).
8) Kružnice opsaná — dotýká se všech vrcholů trojúhelníku; její střed leží na průsečíku os stran. Značení poloměru: r.
9) Kružnice vepsaná — dotýká se všech stran trojúhelníku; její střed leží na průsečíku os vnitřních úhlů. Značení poloměru: ρ.
Úkol 5
Sestrojte trojúhelník ABC o stranách a=5 cm,b=7 cm,c=9 cm. Sestrojte jemu opsanou kružnici.
10) Shodnost trojúhelníků
Trojúhelníky ABC a A′B′C′ jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí. Zapisujeme ABC≅A′B′C′.
Věty o shodnosti trojúhelníků — pro shodnost stačí, aby platilo kterékoli z těchto kritérií:
- V1 (sss): shodují se ve všech třech stranách.
- V2 (sus): shodují se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném.
- V3 (Ssu): shodují se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.
- V4 (usu): shodují se v jedné straně a v obou k ní přilehlých úhlech.
11) Podobnost trojúhelníků
Trojúhelníky ABC a A′B′C′ jsou podobné, právě když existuje kladné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že pro délky odpovídajících si stran platí:
a′a=b′b=c′c=k
Zapisujeme ABC∼A′B′C′.
Například: trojúhelník se stranami 8,00, 6,00, 11,20 a trojúhelník se stranami 4,00, 3,00, 5,60:
4,008,00=3,006,00=5,6011,20=2
Podobnost platí i pro úhly — jsou shodné: α=α′=24,4°, β=β′=30,0°.
Věty o podobnosti trojúhelníků:
- V1 (uu): shodují se ve dvou úhlech.
- V2 (sus): mají rovné poměry dvou stran a shodný úhel jimi sevřený.
- V3 (Ssu): mají rovné poměry dvou stran a shodný úhel proti větší z nich.
Úkol 6
Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtěte výšku věže, jejíž stín je ve stejném okamžiku dlouhý 36 metrů.
Výsledek: podobnost trojúhelníků: výška/stín je konstantní poměr, 1 m / 1,5 m = výška / 36 m, výška = 36/1,5 = 24 m
Úkol 7
Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách 12 cm, 16 cm, 19 cm a 10 cm, 15 cm, 13 cm.
Výsledek: seřazeno: 12,16,19 a 10,13,15. Poměry 12/10=1,2; 16/13≈1,231; 19/15≈1,267 — nejsou si rovné, trojúhelníky nejsou podobné
Úkol 8
Rozhodněte o podobnosti trojúhelníku s úhly 38°, 55° a trojúhelníku s úhly 55°, 87°.
Výsledek: třetí úhel prvního: 180−38−55=87°, takže první má úhly {38°,55°,87°}. Třetí úhel druhého: 180−55−87=38°, tedy i druhý má úhly {38°,55°,87°} — stejná trojice úhlů, trojúhelníky jsou podobné (věta uu)
Úkol 9
Trojúhelníkové pole je na plánu 1:50 000 zakresleno jako trojúhelník o stranách 32,5 mm, 23,5 mm a 36 mm. Určete jeho skutečné rozměry.
Výsledek: násobíme měřítkem 50 000: 32,5mm→1625m, 23,5mm→1175m, 36mm→1800m
Úkol 10
Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o rozměrech 1,6 km, 2,4 km a 2,7 km na mapě zakreslen jako trojúhelník o stranách 32 mm, 48 mm a 54 mm.
Výsledek: 32mm/1600000mm = 48mm/2400000mm = 54mm/2700000mm = 1/50000, tedy měřítko 1:50 000