Pozn. k obsahu: U možnosti D) v úloze 1) se v PDF ztratila mocnina ve jmenovateli — z dochovaných mezivýpočtů (a1=108!:!3=36, tedy 108/3n) šlo přesně zrekonstruovat na an=3n108.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Obecná posloupnost
1) První tři členy posloupnosti: a1=36, a2=12, a3=4. Který vzorec pro n-tý člen lze použít?
A) an=36+24−n B) an=52−16n C) an=60−24n D) an=3n108 E) an=36(31)n
Podzim 2014, příklad č. 24. Body: 2.
Vzorec musí platit pro všechny tři zadané členy — ověřujeme postupně a1, a2, a3; jakmile vyjde nepravdivá rovnost, vzorec je nesprávný.
Řešení: A) a1=36+24−1=36+241=36 — nevyhovuje. B) a1=52−16=36 ✓, ale a2=52−32=20=12 — nevyhovuje. C) a1=36 ✓, a2=12 ✓, ale a3=60−72=−12=4 — nevyhovuje. D) a1=3108=36 ✓, a2=9108=12 ✓, a3=27108=4 ✓ — vyhovuje! E) a1=36⋅31=12=36 — nevyhovuje (posloupnost 36,12,4 je sice geometrická s kvocientem 31, ale správný tvar by musel mít exponent n−1, ne n — proto E navzdory podobnosti nevyhovuje).
Pro dané členy lze použít vzorec D.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Posloupnost má vzorec pro n-tý člen an=5n−3. Vypočtěte rozdíl an+1−an.
2012, příklad č. 12. Body: 1. Výsledek: 5.
Řešení: an+1=5(n+1)−3=5n+2. an+1−an=(5n+2)−(5n−3)=5.
2i) Posloupnost má vzorec an=5n−3. Vypočtěte, kolikátý člen je jedenáctkrát větší než druhý člen (an=11a2).
2012, příklad č. 13. Body: 2. Výsledek: 16.
Řešení: a2=5⋅2−3=7. 5n−3=11⋅7=77⟹5n=80⟹n=16.
Kontrola: a16=5⋅16−3=77=11⋅7=11a2 ✓.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 34) Obecná posloupnost.pdf.