Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů ověřeny přepočtem, souhlasí. Sekce „Kulová úseč” byla v PDF jen nadpis bez textu (vzorec chyběl zcela) — doplněno standardním vzorcem, ověřeným zpětně na příkladech 3 a 4, které na tento vzorec navazují.
Koule
Koule je množina bodů v prostoru, které mají od daného pevného bodu S (střed) vzdálenost menší nebo rovnu kladnému číslu r (poloměr).
V=34πr3
Kulová plocha
Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od středu S vzdálenost rovnu kladnému číslu r — je to „obal” koule (jen povrchová vrstva, ne vnitřek).
S=4πr2
Kulový vrchlík
Pokud kulovou plochu protneme rovinou, rozdělí ji na dvě části — kulové vrchlíky. Průsečíkem koule a roviny je kružnice o poloměru ρ. Výšku kulového vrchlíku značíme v.
Svrchlík=2πrv
kde r je poloměr kulové plochy, ze které vrchlík vznikl (povrch vrchlíku závisí jen na r a v, ne na ρ).
Kulová úseč
Kulová úseč je celé těleso (ne jen zakřivená plocha) ohraničené kulovým vrchlíkem a rovinným řezem — tedy „ukrojený kus” koule i s jeho vnitřkem.
Vúseč=3πv2(3r−v)
kde r je poloměr koule a v výška úseče. Mezi poloměrem řezné kružnice ρ, výškou v a poloměrem koule r platí vztah (plyne z Pythagorovy věty v řezu koulí):
ρ2=v(2r−v)
Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)
- V programu Cabri narýsujte kouli o poloměru r=4 cm. Vypočtěte její objem a povrch, výsledky ověřte programem Cabri.
- V programu Cabri narýsujte kouli o poloměru r=7 cm. Kouli protněte rovinou vzdálenou 4 cm od jejího středu. Vyznačte kružnici, která vznikne průnikem kulové plochy a roviny. Vyznačte poloměr této kružnice a výšky obou vzniklých kulových úsečí.
Příklady
1. Ze dvou koulí o poloměrech r1=2 cm a r2=3 cm je ulita jedna koule. Určete její poloměr a povrch.
Výsledek: zachování objemu: r³=r₁³+r₂³=8+27=35 → r=∛35≈3,271 cm; S=4πr²≈134,458 cm²
2. Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže se její poloměr zmenší třikrát?
Výsledek: V∝r³ → zmenší se 3³=27×; S∝r² → zmenší se 3²=9×
3. Z koule o poloměru r=16 cm je oddělena úseč, jejíž výška je osmina průměru koule. Určete objem kulové úseče.
Výsledek: v = d/8 = 32/8 = 4cm; V=(πv²/3)(3r-v) = (π·16/3)(48-4) = (704π/3) ≈ 737,227 cm³
4. Kulová úseč má poloměr podstavy ρ=5 cm a výšku v=1 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je kulová úseč.
Výsledek: ρ²=v(2r-v) → 25=1·(2r-1) → 2r=26 → r=13 cm