Připomeneme si, jaké druhy čísel známe a k čemu nám v praxi slouží.
Přirozená čísla
1,2,3,4,5,…
Slouží k vyjádření počtu osob, zvířat, předmětů apod.
Celá čísla
…,−2,−1,0,1,2,…
Umožňují vyjádřit změny těchto počtů a jejich porovnání (přírůstek, úbytek, změny stavů apod.).
Racionální čísla
Např.: 21, −0,25, 0, 3,6, −251
Používají se k vyjádření počtu dílů celku, počtu celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod.
Iracionální čísla
Např.: −√2, √23, π, sin(20°)
Jsou to čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem — nelze je tedy zapsat ve tvaru zlomku.
Reálná čísla
reálná čísla=racionální čísla+iracionální čísla
Umožňují vyjádření výsledků měření délek, obsahů, objemů, fyzikálních stavů těles a jejich změn.
Značení číselných oborů
- N — množina všech přirozených čísel
- Z — množina všech celých čísel
- Q — množina všech racionálních čísel
- R — množina všech reálných čísel
Tyto obory tvoří řetězec vzájemných podmnožin (viz Množiny):
N⊂Z⊂Q⊂R
Jsou-li v množině čísel určitého druhu definovány operace sčítání a násobení, mluvíme o číselném oboru.
Příklad: Uveďte příklady celých čísel, která nejsou přirozenými čísly. Rozhodněte, zda každé přirozené číslo je zároveň celé číslo, a zda platí i opak. Kam byste ve schématu N⊂Z⊂Q⊂R zařadili číslo π?
Výsledek: celá čísla, která nejsou přirozená: 0, -1, -2, -3, … (všechna nekladná celá čísla); každé přirozené číslo JE zároveň celé (ℕ⊂ℤ), ale opak neplatí — např. -1 a 0 jsou celá, ale nejsou přirozená; π je iracionální, patří tedy do ℝ, ale NE do ℚ (leží “mimo” kruh racionálních čísel, uvnitř kruhu reálných)
Obor přirozených čísel ℕ
Číslice (cifra) je znak pro zápis čísla (jednička, dvojka, trojka…), zatímco číslo je hodnota, kterou zapisujeme (jedna, dvě, tři…). Mezi základní operace řadíme sčítání a násobení. Pro každá tři přirozená čísla a,b,c platí:
- součet a+b je přirozené číslo (uzavřenost, U)
- a+(b+c)=(a+b)+c (asociativnost, A)
- a+b=b+a (komutativnost, K)
- součin a⋅b je přirozené číslo (U)
- a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c (A)
- a⋅b=b⋅a (K)
- 1⋅a=a (neutralita čísla 1 vzhledem k násobení, N)
- a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (distributivnost, D)
Obor celých čísel ℤ
Celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla a dále 0 a čísla opačná k přirozeným číslům. Opačné číslo k číslu a je číslo −a, přičemž platí a+(−a)=0.
Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné, opačné číslo k zápornému je kladné, opačné číslo k 0 je 0.
Příklad: Určete čísla opačná k daným:
a) 5
b) −13
c) 0
d) −(7+13)
e) −(2⋅16)
f) (2−7)
Výsledek:
- a) -5
- b) 13
- c) 0
- d) -(7+13)=-20, opačné je 20
- e) -(2·16)=-32, opačné je 32
- f) (2-7)=-5, opačné je 5
Příklad: Vypočítejte:
a) 24−45
b) −16+25
c) 17−(−35)
d) −28−(−39)
e) 12⋅(−3)
f) (−7)⋅(−2)
g) (−2)⋅(−3)⋅(−4)
Výsledek:
- a) -21
- b) 9
- c) 17+35=52
- d) -28+39=11
- e) -36
- f) 14
- g) -24 (tři záporní činitelé → výsledek záporný)
Obor racionálních čísel ℚ
Množina racionálních čísel obsahuje všechna čísla, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku qp, kde p je celé číslo a q je přirozené číslo (zlomek v základním tvaru).
Porovnáváme-li dva zlomky qp, sr (kde q,s>0), porovnáváme součiny p⋅s a q⋅r: je-li p⋅s>q⋅r, je qp>sr.
Příklad: Porovnejte zlomky 1611, 4732.
Výsledek: 11·47=517, 16·32=512; protože 517>512, platí 11/16 > 32/47 (ověření desetinným rozvojem: 11/16=0,6875 a 32/47≈0,6809)
Jiný postup: převedeme oba zlomky na společného jmenovatele.
Racionální čísla lze zapisovat buď ve tvaru zlomku, nebo desetinného čísla — u desetinného zápisu se vždy dříve nebo později objeví opakující se skupina číslic, tzv. perioda:
3310=0,303030…=0,30
2215=0,6818181…=0,681
(V prvním případě je periodou skupina číslic “30”, ve druhém “81”, následující po úvodní neopakující se číslici 6.)
Obor reálných čísel ℝ
Reálná čísla obsahují všechna racionální čísla, a dále čísla, kterým říkáme iracionální.
Příklad: Jaká je délka úhlopříčky čtverce o straně u=1? A čtverce o straně u=3?
Výsledek: úhlopříčka čtverce o straně u má (podle Pythagorovy věty) délku u√2; pro u=1: délka=√2 (≈1,414); pro u=3: délka=3√2 (≈4,243) — obě hodnoty jsou iracionální, nelze je zapsat přesně jako zlomek ani jako konečný či periodický desetinný rozvoj
Čísla √2, √3, −√2, −√3 nebo Ludolfovo číslo π jsou další příklady iracionálních čísel. Nelze je zapsat ve tvaru zlomku — vyjádřeny jako desetinné číslo mají nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, např.:
π=3,14159265358979323846264338327950288419716939…
Zdroje
Zdrojový dokument: mat2/Číselné obory.pdf