Logaritmus, věty o logaritmování, logaritmické rovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily — v shrnutí navíc OCR omylem zaměnilo všechna „=” za „≠”, opraveno. Čtyři jednoduchá cvičení na výpočet logaritmu (a-d) neměla dochované zadání vůbec, nahrazena novými se stejným cílem. U rovnicových cvičení byl základ logaritmu v podkladu nečitelný (OCR ho zobrazovalo jako “log12”), ale zbytek čísel šlo přesně zrekonstruovat ze zachovaných zkoušek — základ byl proto zvolen tak, aby výpočet seděl (u prvního příkladu 2, jde o libovolný platný základ, princip řešení na tom nezávisí).

Osnova

a) pojem logaritmus, b) věty o logaritmech, c) logaritmická rovnice, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.

Logaritmus

Logaritmus čísla r o základu a je takové číslo v, pro které platí av=r, kde a∈R+∖{1}:

loga​r=v⟺av=r

Číslo a se nazývá základ, číslu r se říká hodnota logaritmu (argument).

Máme dva speciální logaritmy:

• dekadický (základ a=10) — píšeme jen logr místo log10​r
• přirozený (základ a=e, Eulerovo číslo e≈2,71828...) — píšeme lnr místo loge​r

Ukázkové příklady

a) log2​8=x. Použijeme definici: 2x=8=23, tedy x=3.

b) log3​81=x. 3x=81=34, tedy x=4.

Graficky je log2​8 hodnota funkce y=log2​x v bodě x=8:

Příklady na procvičení

Příklad 1: log5​25=x

Výsledek: 5ˣ = 25 = 5², x = 2

Příklad 2: log2​81​=x

Výsledek: 2ˣ = 1/8 = 2⁻³, x = −3

Příklad 3: log4​2=x

Výsledek: 4ˣ = 2, tedy (2²)ˣ = 2¹, 2x = 1, x = 1/2

Příklad 4: log1000=x (dekadický logaritmus)

Výsledek: 10ˣ = 1000 = 10³, x = 3

Věty o logaritmech

loga​r+loga​v=loga​(r⋅v)

loga​r−loga​v=loga​(r:v)

s⋅loga​r=loga​(rs)

Pozor: loga​(rs)=(loga​r)s — to jsou dva různé výrazy!

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnice je rovnice s logaritmem, u které při řešení využíváme věty o logaritmech výše. Pro x1​,x2​∈R+ platí: je-li loga​x1​=loga​x2​, pak x1​=x2​ (logaritmus je prostá funkce).

U logaritmických rovnic musíme vždy provést zkoušku — hlavně kvůli podmínce, že argument logaritmu musí být kladný; kořen, který tuto podmínku nesplňuje, není řešením, i kdyby vyšel z čistě algebraické úpravy.

Ukázkový příklad 1

Řešte rovnici logx+log(x+1)=2logx.

Použijeme logaritmické věty k úpravě: log[x(x+1)]=logx2.

Na obou stranách máme jeden logaritmus — „odlogaritmujeme” (argumenty se musí rovnat): x(x+1)=x2

x2+x=x2 ⇒ x=0

Zkouška: nemusíme ani dosazovat — víme, že argument logaritmu musí být kladné reálné číslo, ale x=0 tuto podmínku nesplňuje (log0 není definován). Rovnice nemá řešení.

Ukázkový příklad 2

Řešte rovnici log(x2+7)=2log(x+7).

Použijeme logaritmickou větu na pravé straně: log(x2+7)=log(x+7)2.

Odlogaritmujeme celou rovnici: x2+7=(x+7)2. Napravo použijeme vzorec (a+b)2:

x2+7=x2+14x+49 ⇒ −14x=42 ⇒ x=−3

Zkouška: L:log[(−3)2+7]=log(9+7)=log16. P:2log(−3+7)=2log4=log42=log16. L=P ✓ (a argument x+7=4>0 je v pořádku).

Výsledek: x=−3

Příklady na procvičení

Příklad 1: log2​(2x+4)−log2​(x−3)=log2​7

Výsledek:

• podmínka: x − 3 > 0, tedy x > 3
• úprava (log podílu): log₂[(2x+4)/(x−3)] = log₂7, tedy (2x+4)/(x−3) = 7
• řešení: 2x+4 = 7x−21, 25 = 5x, x = 5
• zkouška: (2·5+4)/(5−3) = 14/2 = 7 ✓
• výsledek: x = 5

Příklad 2: log3​(x+1)+log3​(x+3)=log3​3

Výsledek:

• úprava (log součinu): log₃[(x+1)(x+3)] = log₃3, tedy (x+1)(x+3) = 3
• rovnice: x² + 4x + 3 = 3, tedy x² + 4x = 0, x(x+4) = 0
• kořeny: x₁ = 0, x₂ = −4
• zkouška x₁=0: (0+1)(0+3) = 3 ✓, argumenty 1 a 3 jsou kladné — platí
• zkouška x₂=−4: argument x+1 = −3 < 0, log₃(−3) není definován — nesmí být
• výsledek: x = 0 (jediné řešení)

Příklad 3: log(2x+13)=2log(x+5)

Výsledek:

• podmínka: x + 5 > 0, tedy x > −5
• úprava: log(2x+13) = log(x+5)², tedy 2x+13 = (x+5)² = x²+10x+25
• rovnice: x² + 8x + 12 = 0, (x+6)(x+2) = 0
• kořeny: x₁ = −2, x₂ = −6
• zkouška x₁=−2: x+5 = 3 > 0 — platí (L=log9, P=2log3=log9, souhlasí)
• zkouška x₂=−6: x+5 = −1 < 0, log(−1) není definován — nesmí být
• výsledek: x = −2 (jediné řešení)

Shrnutí

• Logaritmus: loga​r=v⟺av=r
• Speciální logaritmy: dekadický (základ a=10, píšeme log), přirozený (základ a=e, píšeme ln)
• Věty o logaritmech se používají při řešení logaritmických rovnic: loga​r+loga​v=loga​(rv), loga​r−loga​v=loga​(r/v), sloga​r=loga​(rs)
• U logaritmických rovnic je vždy nutná zkouška (kvůli podmínce kladného argumentu)

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6