Logaritmus, věty o logaritmování, logaritmické rovnice

Doplněný obsah — není z archivu podkladů, napsáno podle ŠVP. Vhodné ověřit u vyučujícího.

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily nebo poškodily — v shrnutí navíc OCR omylem zaměnilo všechna „=” za „≠”, opraveno. Čtyři jednoduchá cvičení na výpočet logaritmu (a-d) neměla dochované zadání vůbec, nahrazena novými se stejným cílem. U rovnicových cvičení byl základ logaritmu v podkladu nečitelný (OCR ho zobrazovalo jako “log12”), ale zbytek čísel šlo přesně zrekonstruovat ze zachovaných zkoušek — základ byl proto zvolen tak, aby výpočet seděl (u prvního příkladu 2, jde o libovolný platný základ, princip řešení na tom nezávisí).

Osnova

a) pojem logaritmus, b) věty o logaritmech, c) logaritmická rovnice, d) ukázkové příklady, e) příklady na procvičení včetně řešení.

Logaritmus

Logaritmus čísla $r$ o základu $a$ je takové číslo $v$ , pro které platí $a v = r$ , kde $a \in R + ∖ 1$ :

$log a r = v ⟺ a v = r$

Číslo $a$ se nazývá základ, číslu $r$ se říká hodnota logaritmu (argument).

Máme dva speciální logaritmy:

dekadický (základ $a = 10$ ) — píšeme jen $log r$ místo $log 10 r$
přirozený (základ $a = e$ , Eulerovo číslo $e \approx 2, 71828 \dots$ ) — píšeme $ln r$ místo $log e r$

Ukázkové příklady

a) $log 2 8 = x$ . Použijeme definici: $2 x = 8 = 23$ , tedy $x = 3$ .

b) $log 3 81 = x$ . $3 x = 81 = 34$ , tedy $x = 4$ .

Příklady na procvičení

Příklad 1: $log 5 25 = x$

Výsledek: 5ˣ = 25 = 5², x = 2

Příklad 2: $log 2 81 = x$

Výsledek: 2ˣ = 1/8 = 2⁻³, x = −3

Příklad 3: $log 4 2 = x$

Výsledek: 4ˣ = 2, tedy (2²)ˣ = 2¹, 2x = 1, x = 1/2

Příklad 4: $log 1000 = x$ (dekadický logaritmus)

Výsledek: 10ˣ = 1000 = 10³, x = 3

Věty o logaritmech

$log a r + log a v = log a (r \cdot v)$

$log a r - log a v = log a (r : v)$

$s \cdot log a r = log a (r s)$

Pozor: $log a (r s) \neq = (log a r) s$ — to jsou dva různé výrazy!

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnice je rovnice s logaritmem, u které při řešení využíváme věty o logaritmech výše. Pro $x 1 , x 2 \in R +$ platí: je-li $log a x 1 = log a x 2 $ , pak $x 1 = x 2 $ (logaritmus je prostá funkce).

U logaritmických rovnic musíme vždy provést zkoušku — hlavně kvůli podmínce, že argument logaritmu musí být kladný; kořen, který tuto podmínku nesplňuje, není řešením, i kdyby vyšel z čistě algebraické úpravy.

Ukázkový příklad 1

Řešte rovnici $log x + log (x + 1) = 2 log x$ .

Použijeme logaritmické věty k úpravě: $log [x (x + 1)] = log x 2$ .

Na obou stranách máme jeden logaritmus — „odlogaritmujeme” (argumenty se musí rovnat): $x (x + 1) = x 2$

$x 2 + x = x 2 \Rightarrow x = 0$

Zkouška: nemusíme ani dosazovat — víme, že argument logaritmu musí být kladné reálné číslo, ale $x = 0$ tuto podmínku nesplňuje ( $log 0$ není definován). Rovnice nemá řešení.

Ukázkový příklad 2

Řešte rovnici $log (x 2 + 7) = 2 log (x + 7)$ .

Použijeme logaritmickou větu na pravé straně: $log (x 2 + 7) = log (x + 7) 2$ .

Odlogaritmujeme celou rovnici: $x 2 + 7 = (x + 7) 2$ . Napravo použijeme vzorec $(a + b) 2$ :

$x 2 + 7 = x 2 + 14 x + 49 \Rightarrow -14 x = 42 \Rightarrow x = -3$

Zkouška: $L : log [(-3) 2 + 7] = log (9 + 7) = log 16$ . $P : 2 log (-3 + 7) = 2 log 4 = log 42 = log 16$ . $L = P$ ✓ (a argument $x + 7 = 4 > 0$ je v pořádku).

Výsledek: $x = -3$

Příklady na procvičení

Příklad 1: $log 2 (2 x + 4) - log 2 (x - 3) = log 2 7$

Výsledek:

podmínka: x − 3 > 0, tedy x > 3
úprava (log podílu): log₂[(2x+4)/(x−3)] = log₂7, tedy (2x+4)/(x−3) = 7
řešení: 2x+4 = 7x−21, 25 = 5x, x = 5
zkouška: (2·5+4)/(5−3) = 14/2 = 7 ✓
výsledek: x = 5

Příklad 2: $log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = log 3 3$

Výsledek:

úprava (log součinu): log₃[(x+1)(x+3)] = log₃3, tedy (x+1)(x+3) = 3
rovnice: x² + 4x + 3 = 3, tedy x² + 4x = 0, x(x+4) = 0
kořeny: x₁ = 0, x₂ = −4
zkouška x₁=0: (0+1)(0+3) = 3 ✓, argumenty 1 a 3 jsou kladné — platí
zkouška x₂=−4: argument x+1 = −3 < 0, log₃(−3) není definován — nesmí být
výsledek: x = 0 (jediné řešení)

Příklad 3: $log (2 x + 13) = 2 log (x + 5)$

Výsledek:

podmínka: x + 5 > 0, tedy x > −5
úprava: log(2x+13) = log(x+5)², tedy 2x+13 = (x+5)² = x²+10x+25
rovnice: x² + 8x + 12 = 0, (x+6)(x+2) = 0
kořeny: x₁ = −2, x₂ = −6
zkouška x₁=−2: x+5 = 3 > 0 — platí (L=log9, P=2log3=log9, souhlasí)
zkouška x₂=−6: x+5 = −1 < 0, log(−1) není definován — nesmí být
výsledek: x = −2 (jediné řešení)

Shrnutí

Logaritmus: $log a r = v ⟺ a v = r$
Speciální logaritmy: dekadický (základ $a = 10$ , píšeme $log$ ), přirozený (základ $a = e$ , píšeme $ln$ )
Věty o logaritmech se používají při řešení logaritmických rovnic: $log a r + log a v = log a (r v)$ , $log a r - log a v = log a (r / v)$ , $s log a r = log a (r s)$
U logaritmických rovnic je vždy nutná zkouška (kvůli podmínce kladného argumentu)

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6

Zdroj: matematika/TY01_0211_-_Logaritmus_vety_o_logaritmovani_logaritmicke_rovnice.pptx