Kolmý hranol

Pozn. k obsahu: Vzorce v PDF byly vysázené jako obrázky (unicode symboly), přepsané zde do LaTeXu; výsledky úkolů (ověřeny přepočtem, souhlasí) do spoilerů. PDF dále odkazovalo na soubory pro program Cabri 3D (krychle_sit.cg3, kvadr_sit.cg3), které nejsou součástí archivu — úkol 1 proto nejde reprodukovat, ponechán jako historický záznam.

Kolmý hranol je těleso, které se skládá ze dvou shodných a rovnoběžných podstav a pláště; boční stěny svírají s rovinou podstavy pravý úhel.

V=Sp​⋅vS=2Sp​+Spl​

kde Sp​ je obsah podstavy, v je výška (vzdálenost mezi podstavami) a Spl​ je obsah pláště (součet obsahů bočních stěn — u hranolu s podstavou o obvodu o platí Spl​=o⋅v).

Hranoly dělíme podle podstav na:

1. pravidelné — podstavou je pravidelný geometrický útvar (rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník atd.)
2. nepravidelné — podstavou je nepravidelný geometrický útvar (pravoúhlý trojúhelník, obdélník, nepravidelný pětiúhelník, deltoid atd.)

Krychle

Krychle je speciální případ kolmého hranolu — pravidelný čtyřboký hranol, jehož výška je stejná jako délka podstavné hrany. Všech šest stěn krychle jsou shodné čtverce.

V=a3S=6a2

kde a je délka hrany krychle.

Kvádr

Kvádr je speciální případ kolmého hranolu, jehož podstavou je obdélník. Rozměry kvádru značíme a, b, c (délka, šířka, výška).

V=a⋅b⋅cS=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)

Úkoly (interaktivní, Cabri 3D)

1. Otevřete postupně soubory krychle_sit.cg3 a kvadr_sit.cg3. Rozložte sítě těles do roviny a poté zpátky.
2. V programu Cabri nakreslete krychli o hraně délky 4. Vypočtěte její objem a povrch, výsledek ověřte programem Cabri.

Příklady

1. Objem krychle je 27 dm3. Vypočtěte její povrch.

Výsledek: a³=27 → a=3dm; S=6a²=6·9=54 dm²

2. Podstavou hranolu je rovnostranný trojúhelník o straně délky 4 cm. Výška hranolu je 6 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch.

Výsledek: S_p = (a²√3)/4 = (16√3)/4 = 4√3 cm²; V = S_p·v = 4√3·6 = 24√3 ≈ 41,57 cm³; S_pl = o·v = (3·4)·6 = 72 cm²; S = 2S_p + S_pl = 8√3 + 72 ≈ 85,86 cm²

3. Mějme hranol, jehož podstavou je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délkách 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je dvojnásobkem délky přepony podstavy. Vypočtěte jeho objem a povrch.

Výsledek: přepona (Pythagorova věta) = √(3²+4²) = 5 cm; výška hranolu v = 2·5 = 10cm; S_p = (3·4)/2 = 6 cm²; V = S_p·v = 6·10 = 60 cm³; S_pl = o·v = (3+4+5)·10 = 120 cm²; S = 2S_p + S_pl = 12 + 120 = 132 cm²