Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) a obrázky bodů v souřadnicové soustavě, které se nedochovaly — z původního souboru přežila jen kostra témat. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu; graf s body pro cvičení je nově vytvořený.
Souřadnice jsou způsob, jak přesně určit polohu — používáme je v běžném životě neustále, aniž si to uvědomujeme: adresa bydliště, poloha na mapě (zeměpisná šířka a délka), pozice na šachovnici (např. e4).
René Descartes (1596–1650)
Francouzský filozof a matematik, zakladatel analytické geometrie — oboru, který propojil algebru s geometrií. Zavedl soustavu souřadnic, které se dodnes říká kartézská (z latinského “Cartesius”).
Analytická geometrie řeší geometrické úlohy početně, ne graficky — např. úloha najít průsečík dvou přímek se neřeší rýsováním, ale jako řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Tento přístup umožňuje zkoumat i mnohem složitější křivky než jen přímky a kružnice, řešení jsou libovolně přesná (na rozdíl od odečítání z obrázku) a metodu lze zobecnit i do prostorů o více než dvou dimenzích.
Kartézská soustava souřadnic
- Souřadné osy jsou vzájemně kolmé.
- Protínají se v jednom bodě — počátku soustavy souřadnic, značeném O=[0;0].
- Jednotka se obvykle volí na všech osách stejně velká.
- Souřadnice polohy bodu dostaneme jako jeho kolmé průměty na jednotlivé osy.
Soustava souřadnic v rovině
V rovině má soustava dvě osy: vodorovnou osu x a svislou osu y. Bod A zapisujeme jako uspořádanou dvojici A=[xA;yA], kde xA je jeho kolmý průmět na osu x a yA kolmý průmět na osu y.
Výsledek: A=[3;4], B=[-2;3], C=[-4;-1], D=[0;-3], E=[4;-2], F=[-1;2]
Rovina rozdělená oběma osami na čtyři kvadranty — v prvním (vpravo nahoře) jsou obě souřadnice kladné, ve druhém (vlevo nahoře) je x<0 a y>0, ve třetím (vlevo dole) jsou obě záporné, ve čtvrtém (vpravo dole) je x>0 a y<0.
Soustava souřadnic v prostoru
V prostoru přidáváme třetí, svislou osu z, kolmou na obě předchozí. Bod v prostoru pak zapisujeme jako trojici A=[xA;yA;zA] — jeho polohu dostaneme jako kolmé průměty na všechny tři osy. Tři osy dohromady rozdělují prostor na osm oktantů (obdoba kvadrantů v rovině).
Úkoly
1. Určete, ve kterém kvadrantu leží bod se souřadnicemi [−3;5], [2;−7], [−1;−1] a [6;4].
Výsledek: [-3;5]: druhý kvadrant (x<0, y>0); [2;-7]: čtvrtý kvadrant (x>0, y<0); [-1;-1]: třetí kvadrant (obě záporné); [6;4]: první kvadrant (obě kladné)
2. Bod A=[2;−3] ležel v rovině xy. Jaké budou jeho souřadnice, pokud ho chápeme jako bod v prostoru ležící přímo v rovině xy (tedy s nulovou výškou nad/pod ní)?
Výsledek: A=[2;-3;0] — třetí souřadnice (z) je nulová právě tehdy, když bod leží v rovině xy
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.