Pozn. k obsahu: Úlohy v této kapitole vycházejí z grafů (obrázků přímek), které nejsou součástí archivu. Textový popis řešení ale ve všech případech uvádí konkrétní souřadnice bodů použitých k výpočtu, takže matematický obsah (rovnice funkcí, výpočty) je kompletně dochovaný — chybí jen vizuální podoba samotných grafů.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Lineární funkce
1) Přiřaďte ke každému grafu a)–d) odpovídající předpis funkce:
A) y=2 B) y=x+2 C) y=x−2 D) y=−x+2 E) y=2x−1 F) y=2x+2
Jaro 2013, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) B, b) F, c) D, d) A.
Ve všech čtyřech případech jde o přímky, tedy grafy lineárních funkcí y=ax+b (a,b∈R). Číslo a určuje sklon: a>0 rostoucí, a<0 klesající, a=0 konstantní. Číslo b udává průsečík s osou y, tedy bod [0;b].
Řešení: a) a>0, b=2 — je to B nebo F. Na grafu leží bod [−2;0], který vyhovuje rovnici B, ne F. Je to B.
b) a>0, b=2 — je to B nebo F. Na grafu leží bod [−1;0], který vyhovuje rovnici F, ne B. Je to F.
c) a<0, b=2 — je to D.
d) a=0, b=2 — je to A (y=0x+2, zkráceně y=2).
2) Rozhodněte o pravdivosti tvrzení a)–d) o grafu funkce f (graf ukazuje klesající přímku procházející body [0;2], [1;0], [−1;4], [2;−2]):
a) Funkce f je konstantní. b) Jeden z průsečíků grafu f se souřadnicovými osami je P[1;0]. c) f(0)=2 d) Předpis funkce f je y=2−2x.
Podzim 2013, příklad č. 16. Body: 2. Výsledek: a) NE, b) ANO, c) ANO, d) ANO.
Řešení: a) NE — grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x, tato přímka klesá.
b) ANO — bod P[1;0] je průsečík grafu s osou x.
c) f(0)=2 znamená bod [0;2] — ten se na grafu skutečně nachází, tedy ANO. (Podobně platí f(−1)=4, f(1)=0, f(2)=−2.)
d) Funkce na obrázku je klesající, protíná osu y v bodě [0;2], tedy a<0, b=2. Rovnice y=2−2x=−2x+2 má a=−2, b=2 — sklon i průsečík souhlasí, ale klesajících funkcí procházejících bodem [0;2] je nekonečně mnoho. K jednoznačnému ověření potřebujeme ještě jeden bod — dosazením bodu [1;0] do y=2−2x: 0=2−2⋅1=0 ✓ (podobně vyjdou i [−1;4], [2;−2]). Předpis funkce je tedy skutečně y=2−2x.
Obecný postup: Bez ohledu na sklon či průsečík s osou y stačí vzít libovolné dva známé body z grafu (dva různé body určují přímku jednoznačně) a ověřit, že jejich souřadnice vyhovují dané rovnici.
3) Funkce f s definičním oborem R má předpis y=4−2x.
a) Sestrojte graf funkce f. b) Graf lineární funkce g s definičním oborem R prochází počátkem O a s grafem f nemá žádný společný bod. Zapište předpis g.
Podzim 2015, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: b) g:y=−2x.
Řešení: a) f:y=4−2x=−2x+4 — klesající, protíná osu y v bodě [0;4]. Grafem přímky stačí znát 2 body, např. [0;4] a [2;0].
b) Graf g prochází počátkem [0;0], tedy v rovnici y=ax+b platí b=0. Protože g nemá s f žádný společný bod, jsou obě přímky rovnoběžné — mají tedy stejný sklon a. Ze rovnice f víme a=−2. Předpis: g:y=−2x+0, tedy g:y=−2x.
4) Zapište předpis funkce g (graf: klesající přímka protínající osu y v bodě [0;1] a procházející bodem [1;0]).
Podzim 2016, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: g:y=−x+1.
Řešení: obecně y=ax+b. Z grafu b=1 (průsečík s osou y je [0;1]) a funkce je klesající (a<0). K jednoznačnému určení potřebujeme ještě jeden bod — na grafu leží [1;0]: 0=a⋅1+1⟹a=−1. Předpis: g:y=−x+1.
(Alternativně: dosazením obou bodů [0;1] a [1;0] do y=ax+b dostaneme soustavu 1=a⋅0+b a 0=a⋅1+b, jejímž řešením je b=1, a=−1.)
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) Který z bodů A–D neleží na přímce p (graf ukazuje přímku procházející počátkem a bodem [3;2])?
A) A[−12;−8] B) B[−9;−6] C) C[0;0] D) D[6;4] E) všechny body leží na přímce p
Jaro 2011 PUP, příklad č. 17. Body: 2.
Řešení: z obrázku b=0, tedy y=ax. Dosazením bodu [3;2]: 2=3a⟹a=32. Rovnice přímky: y=32x. Dosazením všech bodů: −12⋅32=−8 ✓, −9⋅32=−6 ✓, 6⋅32=4 ✓ — všechny body vyhovují, tedy leží na přímce p.
1i) Graf lineární funkce prochází body A[2;3] a B[6;−3]. Jaká je hodnota funkce pro x=3?
A) −1,5 B) 1 C) 1,2 D) 1,5
2010 (1), příklad č. 15. Body: 3.
Řešení: y=ax+b. Dosazením: 3=2a+b a −3=6a+b. Odečtením: −6=4a⟹a=−1,5; dosazením: −3=6⋅(−1,5)+b⟹b=6. Rovnice: y=−1,5x+6. f(3)=−1,5⋅3+6=1,5.
2i) Je dána soustava rovnic x+2y+5=0 a y+1=0. Na kterém z obrázků A–D je správně vyznačeno grafické řešení?
A, B, D) (nedochováno) C)
2010 (1), příklad č. 16. Body: 3.
Řešení: kromě sčítací a dosazovací metody lze soustavu řešit i graficky — obě rovnice převedeme na tvar y=ax+b, sestrojíme jako přímky a najdeme jejich průsečík.
x+2y+5=0⟹2y=−x−5⟹y=−2x−2,5(klesající, protíná osu y v −2,5)
y+1=0⟹y=0x−1(konstantní, protíná osu y v −1)
Grafické řešení odpovídá obrázku C.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 19) Lineární funkce.pdf.