Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých
1) Řešte soustavu rovnic s neznámými x,y,z∈R:
x+2y=−1z−2y=−2x−2z=−3
Podzim 2017, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: uspořádaná trojice [−3;1;0].
U těchto soustav se často stává, že sčítací metodu nelze použít přímo, protože jedním “krokem” nelze vyloučit dvě neznámé najednou. Proto se zde většinou používá metoda dosazovací: v libovolné rovnici osamostatníme libovolnou neznámou a výsledek dosadíme do obou zbývajících rovnic (pokud v některé z nich osamostatněná neznámá chybí, tuto rovnici jen opíšeme). Tím dostaneme známou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešení: Ze třetí rovnice x−2z=−3 vyjádříme x=2z−3. Dosadíme do první rovnice, druhou opíšeme:
(2z−3)+2y=−1⟹2z+2y=2 z−2y=−2
Sečteme (sčítací metoda): 3z=0⟹z=0. Dosazením do 2z+2y=2: 2⋅0+2y=2⟹y=1. Dosazením do x=2z−3: x=2⋅0−3=−3.
Řešením soustavy je uspořádaná trojice [−3;1;0].
Zkouška: x+2y=−3+2=−1 ✓, z−2y=0−2=−2 ✓, x−2z=−3−0=−3 ✓.
(Pozn.: soustavu lze řešit i jinými způsoby.)
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 11) Soustava 3 lineárních rovnic o 3 neznámých.pdf.