Pozn. k obsahu: U úloh přiřazujících předpisy funkcí ke grafům (2, 3, 5, 7, 2i) se často ztratil přesný nezjednodušený tvar některých nabízených výrazů — dochovaly se ale jejich zjednodušené tvary a klasifikace (lineární/kvadratická/exponenciální/nepřímá úměrnost), které byly použity k finálnímu přiřazení, takže výsledek zůstává ověřitelný.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Funkce obecně
1) Určete souřadnice bodu P, v němž se protínají grafy f:y=2x−9 a g:y=3−2x.
Jaro 2011, příklad č. 12. Body: 2.
Řešení (dosazovací metoda): 2x−9=3−2x⟹4x=12⟹x=3. y=2⋅3−9=−3. P[3;−3].
2) Přiřaďte předpisům a)–d) název grafu:
a) y=(2x)2 b) y=2x c) (zjednodušuje se na y=x) d) (nepřímá úměrnost)
A) přímka B) parabola C) hyperbola D) kružnice E) graf exponenciální funkce F) jiný název
Jaro 2012, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) B, b) E, c) A, d) C.
Řešení: a) y=4x2+0x+0 — kvadratická funkce, parabola. b) y=ax (a=2>0) — exponenciální funkce. c) po zjednodušení y=1x+0 — lineární funkce, přímka. d) y=xk (k=0) — nepřímá úměrnost, hyperbola.
3) Přiřaďte předpisům a)–d) graf funkce:
a) y=4x b) (nepřímá úměrnost, k>0) c) (zjednodušuje se na y=x) d) y=log4x
Podzim 2012, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) D, b) A, c) B, d) F.
Řešení: a) exponenciální funkce, a=4>1 — rostoucí exponenciála — D. b) nepřímá úměrnost s k>0 — hyperbola s větvemi v 1. a 3. kvadrantu — A. c) y=1x+0 — rostoucí přímka protínající osu y v 0 — B. d) logaritmická funkce, a=4>1 — rostoucí logaritmická křivka — F.
4) Přiřaďte výrazům a)–d) definiční obor:
a) logx b) 2x c) x+21 d) (zlomek s x ve jmenovateli)
A) R B) (0;+∞) C) (2;+∞) D) (−∞;0)∪(0;+∞) E) (−∞;2)∪(2;+∞) F) jiná množina
Podzim 2013, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) B, b) A, c) F (x∈(−∞;−2)∪(−2;∞)), d) D.
Řešení: a) x>0 (logaritmovat lze jen kladná čísla). b) definováno pro každé x. c) jmenovatel nesmí být nulový: x=−2. d) jmenovatel nesmí být nulový: x=0.
5) Přiřaďte předpisům a)–d) graf funkce (předpisy si nejprve zjednodušte):
a) y=(2−1)x b) y=2(−x)2 c) y=2(−x)−1 d) y=2(−x)
Podzim 2014, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) A, b) C, c) F, d) E.
Řešení: a) y=(21)x — exponenciála, klesající (a<1) — A. b) y=2x2+0x+0 — parabola otevřená nahoru (a>0) — C. c) y=x−2 — hyperbola s větvemi ve 2. a 4. kvadrantu (k<0) — F. d) y=−2x+0 — klesající přímka protínající osu y v 0 — E.
6) Vyjádřete počet tmavých krychlí v závislosti na n∈N (bílých krychlí), z tabulky n=1,2,3,4→ tmavé 3,5,7,9.
Podzim 2015, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: 2n+1.
Řešení: z tabulky je patrné, že platí y=2x+1, tedy počet tmavých krychlí =2n+1.
7) Přiřaďte grafům a)–d) předpis funkce (výrazy se po úpravě zjednoduší na):
A) y=2x B) y=−2x C) (kladný násobek x) D) (hyperbola, 1. a 3. kvadrant) E) (hyperbola, 2. a 4. kvadrant) F) (hyperbola, 2. a 4. kvadrant)
Jaro 2016, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) D, b) E, c) B, d) C.
Řešení: a) hyperbola s větvemi v 1. a 3. kvadrantu (k>0) — D. b) hyperbola s větvemi ve 2. a 4. kvadrantu (k<0) — po dosazení souřadnic bodu z grafu vyhovuje jen E, ne F — E. c) klesající přímka protínající osu y v 0 — B. d) rostoucí přímka protínající osu y v 0 — po dosazení bodu z grafu vyhovuje jen C, ne A — C.
8) Přiřaďte grafům a)–d) předpis (pomocí tg typických úhlů):
a) y=tg,45° b) y=x⋅tg,135° c) y=x⋅tg,225° d) y=x+tg,315°
Jaro 2017, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) F, b) A, c) B, d) E.
Řešení: tg,45°=1, tg,135°=−1, tg,225°=1, tg,315°=−1.
a) y=0x+1 — konstantní funkce, protíná osu y v 1 — F.
b) y=−1x+0 — klesající — A.
c) y=1x+0 — rostoucí — B.
d) y=1x−1 — rostoucí, protíná osu y v −1 — E.
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) Určete souřadnice průsečíku P grafů f:y=3x+2 a g:y=5−x.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 12. Body: 2. Výsledek: x=49, y=411.
Řešení (dosazovací metoda), /⋅3: 3y=x+6; 3(5−x)=x+6⟹15−3x=x+6⟹9=4x⟹x=49. y=5−49=411.
1i) Vypočtěte souřadnice bodu P, kde se protínají f:2x−y+4=0 a g:2x+3y−4=0.
2011, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: P[−1;2].
Řešení (sčítací metoda), f⋅3: 6x−3y+12=0; sečteme s g: 8x+8=0⟹x=−1. Dosazením do f: 2(−1)−y+4=0⟹y=2. P[−1;2].
2i) Přiřaďte grafům f1–f4 (pro x∈⟨0;+∞)) předpis:
A) y=2x B) y=−4x C) y=logx D) (hyperbola, 1. kvadrant) E) y=x2 F) y=4−x
2013, příklad č. 25. Body: 4. Výsledek: a) D, b) F, c) A, d) E.
Řešení: a) hyperbola s větví v 1. kvadrantu (k>0) — D. b) klesající přímka protínající osu y ve 4: y=4−x=−1x+4 — F. c) rostoucí exponenciála — A. d) parabola otevřená nahoru — E (y=x2=1x2+0x+0).
(Pro kontrolu lze dosadit bod z grafu: bod [1;2] v c) vyhovuje y=2x, ne y=x2; bod [1;1] v d) vyhovuje y=x2, ne y=2x.)
3i) a) Zapište předpis funkce vyjadřující délku y druhé strany obdélníku (obsah 10 cm2) v závislosti na délce x první strany. b) Sestrojte graf. c) Kde graf protíná osu x?
2014 (1), příklad č. 8. Body: 3. Výsledek: a) y=x10, c) průsečík s osou x neexistuje.
Řešení: a), b) S=a⋅b=2,5⋅4=10 cm2; pro každý obdélník se stejným obsahem platí x⋅y=10, tedy y=x10 — nepřímá úměrnost, hyperbola s větví v 1. kvadrantu (k=10>0).
c) dosazením y=0: 0=x10⟹0=10 — nepravdivá rovnost, rovnice nemá řešení, průsečík s osou x neexistuje.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 28) Funkce obecně.pdf.