Pozn. k obsahu: Zadání i výsledky se dochovaly téměř celé, jen s poškozeným formátováním zlomků a odmocnin (čísla se rozpadla mimo pořadí) — rekonstruováno pomocí dochovaných výsledků (u úlohy 9 to šlo obzvlášť přesně, protože intervalové zápisy výsledků jednoznačně určují, jak měl vypadat zlomek/odmocnina v zadání) a přepočtem ověřeno. Všechny výsledky souhlasí se zdrojem.
1. Slovní popisy zapište pomocí výrazů:
a) součet trojnásobku x a poloviny y
b) rozdíl druhé mocniny a a součtu b a c
c) třetí odmocnina ze součtu a, b a c
d) podíl třetí mocniny z a a čtvrté odmocniny ze součtu b a c
Výsledek:
- a) 3x+y/2
- b) a²-(b+c)
- c) ∛(a+b+c)
- d) a³/⁴√(b+c)
2. Určete hodnotu výrazu:
a) 3x2+4x−2 pro x=−1
b) 2a3−5a2+1 pro a=3
c) x−32x+1 pro x=4
d) √x+4 pro x=12
Výsledek:
- a) 3-4-2=-3
- b) 54-45+1=10
- c) 9/1=9
- d) √16=4
3. Zjednodušte:
a) 3⋅[4+(2x−y)−5⋅(x−3y)]
b) 2⋅[10−(3x+2y)+4(x−y)]
c) 7−[5+(x−y)−2⋅(3x−2y)]
d) 8−[1+(2x−y)−3⋅(x+y)]
Výsledek:
- a) 12-9x+42y
- b) 20+2x-12y
- c) 2+5x-3y
- d) 7+x+4y
4. Rozložte na součin vytýkáním:
a) −6x2+12x
b) 5a3−10a2b
c) 7m2n−21mn2
d) −3x√y+9√y
Výsledek:
- a) -6x(x-2)
- b) 5a²(a-2b)
- c) 7mn(m-3n)
- d) -3√y(x-3)
5. Rozložte na součin pomocí vzorce (rozdíl čtverců):
a) 4a2−25
b) 9x2−16y2
c) 100m2−91
d) 16p4−81
Výsledek:
- a) (2a-5)(2a+5)
- b) (3x-4y)(3x+4y)
- c) (10m-⅓)(10m+⅓)
- d) (4p²-9)(4p²+9) = (2p-3)(2p+3)(4p²+9) — po prvním rozkladu jde první závorka rozložit ještě jednou
6. Vyjádřete jako druhou mocninu dvojčlenu:
a) 4+12b+9b2
b) 16x2−40x+25
c) 9p2−12pq+4q2
Výsledek:
- a) (2+3b)²
- b) (4x-5)²
- c) (3p-2q)²
7. Dělte (jednočlenem):
a) (12x4+8x3−4x2):(4x2)
b) (64a6−32a5+16a4):(8a4)
c) (27b3−9b2+81b):(3b)
Výsledek:
- a) 3x²+2x-1
- b) 8a²-4a+2
- c) 9b²-3b+27
8. Dělte (mnohočlenem):
a) (2x4+3x3−3x2+3x−5):(2x+5)
b) (2a3−3a2−10a+3):(a−3)
c) (y4+y3−y−1):(y2−1)
d) (9x3+18x2−18x−9):(3x−3)
Výsledek:
- a) x³-x²+x-1 (beze zbytku)
- b) 2a²+3a-1 (beze zbytku)
- c) y²+y+1 (beze zbytku)
- d) 3x²+9x+3 (beze zbytku) — u všech čtyř vyjde přesné dělení, zkuste si to ověřit zpětným násobením
9. Určete podmínky existence (definiční obor) následujících výrazů:
a) x−32x+1
b) x+2x2−5x+9
c) √c−3
d) x−4√x
e) a2−25−1
f) b2+41
g) c2−8c+161
h) d2+10d+25d+3
i) 16−x2√2x+10
j) √x1+x2−251
k) x2−36√5x−10
l) √4−x3
Výsledek:
- a) x≠3
- b) x≠-2
- c) c≥3
- d) x≥0 ∧ x≠4
- e) a≠±5
- f) b∈ℝ (jmenovatel b²+4 je vždy kladný)
- g) c≠4 (jmenovatel je (c-4)²)
- h) d≠-5 (jmenovatel je (d+5)²)
- i) x≥-5 ∧ x≠±4 → ⟨-5;-4)∪(-4;4)∪(4;+∞)
- j) x>0 (ostře, odmocnina ve jmenovateli) ∧ x≠5 → (0;5)∪(5;+∞) [x=-5 je mimo x>0, tedy netřeba samostatně vylučovat]
- k) x≥2 ∧ x≠6 → ⟨2;6)∪(6;+∞) [x=-6 je mimo x≥2]
- l) 4-x>0 (ostře) → x<4 → (-∞;4)
Zdroje
Zdrojový dokument: mat/opakování_3.čtvrtletní.pdf