Pozn. k obsahu: Zadané rovnice byly v PDF vysázené jako rovnicové objekty, které se při převodu ztratily — u většiny úloh šlo přesné znění zpětně rekonstruovat z dochovaného postupu řešení (násobení oběma stranami, mezivýsledky, zkouška) a přepočtem ověřit, že sedí na dochovaný výsledek. U úloh 2) a 3i) byl postup příliš poškozený na spolehlivou rekonstrukci — ponechán jen dochovaný výsledek.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Lineární rovnice
1) Pro x∈R řešte: 3x8=1+6x1.
Jaro 2012, příklad č. 2. Body: 2. Výsledek: x=2,5, podmínky x=0.
Řešení: /⋅6x: 16=6x+1⟹15=6x⟹x=2,5.
2) V oboru R řešte rovnici s neznámou y. Přesné znění se nedochovalo.
Podzim 2013, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=\left−25\right (z dochovaného mezikroku 2y=−5).
3) V oboru R řešte: x(x−1)1=2x3−x−11.
Jaro 2014, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=5; podmínky x=0, x=1.
Řešení: /⋅2x(x−1): 1⋅2=3(x−1)−1⋅2x⟹2=3x−3−2x⟹5=x.
Zkouška: L=5⋅41=201, P=103−41=206−205=201, L=P ✓.
4) Platí 3−ab=2a+b. Vypočtěte hodnotu a pro b=21.
Podzim 2014, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: a=1.
Řešení: 3−2a=2a+21⟹2,5=2,5a⟹a=1.
5) V oboru R řešte: 2x2−22x2−x−3=1.
Jaro 2016, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=∅; podmínky x=1, x=−1.
Řešení: /⋅(2x2−2): 2x2−x−3−1⋅(2x2−2)=0⟹2x2−x−3−2x2+2=0⟹−x−1=0⟹x=−1 — nevyhovuje podmínkám (2x2−2=0⟹x2=1⟹x=±1). Rovnice nemá řešení.
6) V oboru R řešte: x−14−2(x−1)x+1=41.
Jaro 2017, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=5; podmínky x=1.
Řešení: /⋅4(x−1): 4⋅4−2(x+1)=1⋅(x−1)⟹16−2x−2=x−1⟹15=3x⟹x=5.
Ilustrační maturitní testy Cermatu
1i) Ke každé rovnici a)–d) přiřaďte interval, v němž je obsaženo její řešení:
a) 32x+3=0 b) 1−x3=−3 (x=0) c) 2xx−2=21 (x=0) d) 63−2x=21
A) (−∞;−1) B) ⟨−1;0) C) 0 D) (0;1⟩ E) (1;+∞) F) rovnice nemá řešení
2010 (2), příklad č. 11. Body: 4. Výsledek: a) A (x=−23), b) D (x=43, podmínky x=0), c) F, d) C (x=0).
Pozn.: přesné znění čtyř rovnic se v podkladu nedochovalo — rekonstruováno z dochovaných mezikroků, konzistentní se všemi uvedenými výsledky.
Řešení: a) /⋅3: 2x+3=0⟹x=−23 — leží v A. b) /⋅x: x−3=−3x⟹4x=3⟹x=43 — leží v D. c) /⋅2x: x−2=x⟹0=2 — rovnice nemá řešení, F. d) /⋅6: 3−2x=3⟹0=2x⟹x=0 — leží v C.
2i) Pro reálná x=−0,5 je dán výraz 1−2x+1x−1. Pro kterou hodnotu x je výraz roven nule?
2011, příklad č. 1.2. Body: 2. Výsledek: x=−2.
Pozn.: přesné znění výrazu se nedochovalo zcela přesně — rekonstrukce odpovídá dochovanému postupu i upozornění na znaménko u zlomku.
Řešení: 1−2x+1x−1=0 /⋅(2x+1)⟹2x+1−(x−1)=0⟹2x+1−x+1=0⟹x=−2. (Pozor na změnu znaménka — před zlomkem je mínus!)
3i) Řešení rovnice zapište jako zlomek v základním tvaru. ((Přesné znění rovnice se nedochovalo, dochovaný mezikrok 14=35b dává výsledek.))
2011, příklad č. 3. Body: 1. Výsledek: b=3514=52; podmínky b=0.
4i) Řešení rovnice zapište jako zlomek v základním tvaru: c1−2c3=43.
2011, příklad č. 4. Body: 1. Výsledek: (dochovaly se jen podmínky c=0).
((Pozn.: přesné znění se nedochovalo zcela přesně — rekonstrukce odpovídá dochovanému mezikroku 4−6=3c.))
Řešení: /⋅4c: 4−6=3c⟹−2=3c⟹c=−32.
5i) V oboru R řešte rovnici: 3x−1−3=2x−x.
2014 (1), příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=4; zkouška L(4)=P(4)=−2.
Řešení: /⋅6: 2(x−1)−6⋅3=3x−6x⟹2x−2−18=−3x⟹5x=20⟹x=4.
Zkouška: L=34−1−3=1−3=−2; P=24−4=2−4=−2; L=P ✓.
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 7) Lineární rovnice.pdf.