Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.
Odvození
Přímka p procházející bodem A=[xA;yA] s normálovým vektorem n⃗=(a;b) je množina všech bodů X=[x;y], pro které je vektor AX kolmý na n⃗ — tedy n⃗⋅AX=0:
Rovnice přímky dané bodem a normálovým vektorem:
a(x−xA)+b(y−yA)=0
Po roznásobení a označení c=−axA−byA dostaneme obecnou rovnici přímky.
Obecná rovnice přímky:
ax+by+c=0
kde n⃗=(a;b) je normálový vektor této přímky (koeficienty u x a y jsou vždy přímo souřadnice normálového vektoru — to je hlavní výhoda tohoto tvaru).
Příklad
Napište obecnou rovnici přímky procházející bodem A=[2;−1] s normálovým vektorem n⃗=(3;4).
3(x−2)+4(y−(−1))=0⟹3x−6+4y+4=0⟹3x+4y−2=0
Z dvou bodů
Prochází-li přímka body A, B, nejprve spočítáme směrový vektor s⃗=B−A=(s1;s2), z něj normálový vektor n⃗=(s2;−s1) (viz Směrový a normálový vektor) a postupujeme jako výše.
Příklad: Napište obecnou rovnici přímky procházející body A=[1;2], B=[4;6].
s⃗=B−A=(3;4)⟹n⃗=(4;−3)
4(x−1)−3(y−2)=0⟹4x−4−3y+6=0⟹4x−3y+2=0
Řešení: Dosazením bodu B=[4;6] ověříme správnost: 4⋅4−3⋅6+2=16−18+2=0 ✓.
Příklady
1. Napište obecnou rovnici přímky procházející bodem A=[0;3] s normálovým vektorem n⃗=(2;−5).
Výsledek: 2(x-0)-5(y-3)=0 → 2x-5y+15=0
2. Napište obecnou rovnici přímky procházející body A=[−1;2], B=[3;0].
Výsledek: s=B-A=(4;-2); n=(-2;-4) [nebo zjednodušeně (1;2)]; s n=(1;2): 1(x-(-1))+2(y-2)=0 → x+1+2y-4=0 → x+2y-3=0
3. Zjistěte, zda bod C=[5;−1] leží na přímce 2x+3y−7=0.
Výsledek: 2·5+3·(-1)-7 = 10-3-7 = 0 → ano, bod C na přímce leží
4. Určete normálový a směrový vektor přímky 5x−2y+1=0.
Výsledek: normálový vektor je přímo (5;-2); směrový vektor je na něj kolmý: s=(2;5)
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.