Obecná rovnice přímky

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Odvození

Přímka $p$ procházející bodem $A = [x A ; y A ]$ s normálovým vektorem $n ⃗ = (a; b)$ je množina všech bodů $X = [x; y]$ , pro které je vektor $A X$ kolmý na $n ⃗$ — tedy $n ⃗ \cdot A X = 0$ :

$a (x - x A ) + b (y - y A ) = 0$

Po roznásobení a označení $c = - ax A - b y A $ dostaneme obecnou rovnici přímky:

$ax + b y + c = 0$

kde $n ⃗ = (a; b)$ je normálový vektor této přímky (koeficienty u $x$ a $y$ jsou vždy přímo souřadnice normálového vektoru — to je hlavní výhoda tohoto tvaru).

Příklad

Napište obecnou rovnici přímky procházející bodem $A = [2; -1]$ s normálovým vektorem $n ⃗ = (3; 4)$ .

$3(x - 2) + 4(y - (-1)) = 0 ⟹ 3 x - 6 + 4 y + 4 = 0 ⟹ 3 x + 4 y - 2 = 0$

Z dvou bodů

Prochází-li přímka body $A$ , $B$ , nejprve spočítáme směrový vektor $s ⃗ = B - A = (s 1 ; s 2 )$ , z něj normálový vektor $n ⃗ = (s 2 ; - s 1 )$ (viz Směrový a normálový vektor) a postupujeme jako výše.

Příklad: Napište obecnou rovnici přímky procházející body $A = [1; 2]$ , $B = [4; 6]$ .

$s ⃗ = B - A = (3; 4) ⟹ n ⃗ = (4; -3)$

$4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 ⟹ 4 x - 4 - 3 y + 6 = 0 ⟹ 4 x - 3 y + 2 = 0$

Řešení: Dosazením bodu $B = [4; 6]$ ověříme správnost: $4 \cdot 4 - 3 \cdot 6 + 2 = 16 - 18 + 2 = 0$ ✓.

Příklady

1. Napište obecnou rovnici přímky procházející bodem $A = [0; 3]$ s normálovým vektorem $n ⃗ = (2; -5)$ .

Výsledek: 2(x-0)-5(y-3)=0 → 2x-5y+15=0

2. Napište obecnou rovnici přímky procházející body $A = [-1; 2]$ , $B = [3; 0]$ .

Výsledek: s=B-A=(4;-2); n=(-2;-4) [nebo zjednodušeně (1;2)]; s n=(1;2): 1(x-(-1))+2(y-2)=0 → x+1+2y-4=0 → x+2y-3=0

3. Zjistěte, zda bod $C = [5; -1]$ leží na přímce $2 x + 3 y - 7 = 0$ .

Výsledek: 2·5+3·(-1)-7 = 10-3-7 = 0 → ano, bod C na přímce leží

4. Určete normálový a směrový vektor přímky $5 x - 2 y + 1 = 0$ .

Výsledek: normálový vektor je přímo (5;-2); směrový vektor je na něj kolmý: s=(2;5)

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.