Pozn. k obsahu: Konkrétní výrazy v příkladech 1 a 3 se z PDF vytratily (dochovaly se jen výpočty a výsledky, ze kterých byly zpětně rekonstruovány) a samostatné úkoly na konci byly zcela prázdné (jen nadpis) — doplněny vlastní příklady navazující na stejné čtyři typy podmínek probrané výše.
Výraz obsahuje matematické operace (+,−,⋅,÷,√ ,…), čísla (konstanty) a písmena (proměnné). Příklady výrazů: 1+1, a−b, π+a, √x−3, yx+4.
Co není výraz? Výraz neobsahuje rovnosti ani nerovnosti (=,<,>):
- x+4=5 — to není výraz, ale rovnice.
- a−4>b+6 — to není výraz, ale nerovnice.
Definičním oborem výrazu rozumíme množinu všech čísel, pro která dokážeme výraz spočítat (určit jeho hodnotu). Musíme dát pozor na operace, které nejdou provést se všemi čísly — nelze dělit nulou, nelze odmocnit záporné číslo (v oboru reálných čísel) apod.
Příklad 1: Určete definiční obor výrazu x+3x a určete jeho hodnotu pro x=−4;−3;−2;0;1.
Musíme dát pozor na dělení nulou: x+3=0⟹ x=−3⟹ D(v)=R∖{−3}.
Výpočet hodnot výrazu: pro x=−4: −1−4=4; pro x=−3: nelze spočítat (−3∉D(v), dělili bychom nulou); pro x=−2: 1−2=−2; pro x=0: 30=0; pro x=1: 41=0,25.
Příklad 2: Určete definiční obor výrazu √x+7 a určete jeho hodnotu pro x=−10;−1;0;9.
Ve výrazu musíme dát pozor na odmocninu: x+7≥0⟹ x≥−7⟹ D(v)=⟨−7;∞).
Výpočet hodnot výrazu: pro x=−10: √−10+7=√−3 — nelze spočítat, neměli jsme dosazovat −10, protože není v definičním oboru; pro x=−1: √6≈2,449; pro x=0: √7≈2,646; pro x=9: √16=4.
Příklad 3: Určete definiční obor výrazu a−4√a−3.
Musíme dát pozor na odmocninu i na dělení nulou: a−3≥0⟹a≥3 a zároveň a−4=0⟹a=4.
D(v)=⟨3;4)∪(4;∞)(spojení obou podmínek)
Příklad 4: Určete definiční obor výrazu c2−11.
Musíme dát pozor na dělení nulou: c2−1=0⟹ (c−1)(c+1)=0⟹ c=1, c=−1⟹ D(v)=R∖{−1;1}.
Příklad 5: Určete definiční obor výrazu k2+1k+2.
Musíme dát pozor na dělení nulou: k2+1=0⟹k2=−1. Protože k2≥0 pro každé reálné k, je k2+1≥1 — výraz k2+1 se nikdy nebude rovnat nule.
D(v)=R
Samostatné úkoly
Určete definiční obory výrazů:
a) y−5y
b) √2x−6
c) t−2√t+1
d) m2−95
e) n2+43
Výsledek:
- a) y-5≠0 → D(v)=ℝ{5}
- b) 2x-6≥0 → x≥3 → D(v)=⟨3;∞)
- c) t+1≥0 (t≥-1) a t-2≠0 (t≠2) → D(v)=⟨-1;2)∪(2;∞)
- d) m²-9≠0 → (m-3)(m+3)≠0 → m≠±3 → D(v)=ℝ{-3;3}
- e) n²+4≥4>0 vždy → D(v)=ℝ
Zdroje
Upraveno z: realisticky.cz — Výrazy, definiční obor (01 Matematika SŠ, 01 Základní poznatky, 07 Výrazy).