Definiční obor výrazů

Pozn. k obsahu: Konkrétní výrazy v příkladech 1 a 3 se z PDF vytratily (dochovaly se jen výpočty a výsledky, ze kterých byly zpětně rekonstruovány) a samostatné úkoly na konci byly zcela prázdné (jen nadpis) — doplněny vlastní příklady navazující na stejné čtyři typy podmínek probrané výše.

Výraz obsahuje matematické operace ( $+,−,⋅,÷,√ ,\dots$ ), čísla (konstanty) a písmena (proměnné). Příklady výrazů: $1 + 1$ , $a - b$ , $π + a$ , $\sqrt x - 3 $ , $y x + 4 $ .

Co není výraz? Výraz neobsahuje rovnosti ani nerovnosti ( $=, <, >$ ):

$x + 4 = 5$ — to není výraz, ale rovnice.
$a - 4 > b + 6$ — to není výraz, ale nerovnice.

Definiční obor výrazu

Definičním oborem výrazu rozumíme množinu všech čísel, pro která dokážeme výraz spočítat (určit jeho hodnotu). Musíme dát pozor na operace, které nejdou provést se všemi čísly — nelze dělit nulou, nelze odmocnit záporné číslo (v oboru reálných čísel) apod.

Příklad 1: Určete definiční obor výrazu $x + 3 x $ a určete jeho hodnotu pro $x = -4; -3; -2; 0; 1$ .

Musíme dát pozor na dělení nulou: $x + 3 \neq = 0 ⟹ x \neq = -3 ⟹ D (v) = R ∖ -3$ .

Výpočet hodnot výrazu: pro $x = -4$ : $-1 -4 = 4$ ; pro $x = -3$ : nelze spočítat ( $-3 \notin D (v)$ , dělili bychom nulou); pro $x = -2$ : $1 -2 = -2$ ; pro $x = 0$ : $30 = 0$ ; pro $x = 1$ : $41 = 0, 25$ .

Příklad 2: Určete definiční obor výrazu $\sqrt x + 7 $ a určete jeho hodnotu pro $x = -10; -1; 0; 9$ .

Ve výrazu musíme dát pozor na odmocninu: $x + 7 \geq 0 ⟹ x \geq -7 ⟹ D (v) = ⟨-7; \infty)$ .

Výpočet hodnot výrazu: pro $x = -10$ : $\sqrt -10 + 7 = \sqrt -3 $ — nelze spočítat, neměli jsme dosazovat $-10$ , protože není v definičním oboru; pro $x = -1$ : $\sqrt 6 \approx 2, 449$ ; pro $x = 0$ : $\sqrt 7 \approx 2, 646$ ; pro $x = 9$ : $\sqrt 16 = 4$ .

Příklad 3: Určete definiční obor výrazu $a - 4 \sqrt a - 3 $ .

Musíme dát pozor na odmocninu i na dělení nulou: $a - 3 \geq 0 ⟹ a \geq 3$ a zároveň $a - 4 \neq = 0 ⟹ a \neq = 4$ .

$D (v) = ⟨3; 4) \cup (4; \infty) (spojení obou podmínek)$

Příklad 4: Určete definiční obor výrazu $c 2 - 1 1 $ .

Musíme dát pozor na dělení nulou: $c 2 - 1 \neq = 0 ⟹ (c - 1)(c + 1) \neq = 0 ⟹ c \neq = 1, c \neq = -1 ⟹ D (v) = R ∖ -1; 1$ .

Příklad 5: Určete definiční obor výrazu $k 2 + 1 k + 2 $ .

Musíme dát pozor na dělení nulou: $k 2 + 1 \neq = 0 ⟹ k 2 \neq = -1$ . Protože $k 2 \geq 0$ pro každé reálné $k$ , je $k 2 + 1 \geq 1$ — výraz $k 2 + 1$ se nikdy nebude rovnat nule.

$D (v) = R$

Samostatné úkoly

Určete definiční obory výrazů:

a) $y - 5 y $ b) $\sqrt 2 x - 6 $ c) $t - 2 \sqrt t + 1 $ d) $m 2 - 9 5 $ e) $n 2 + 4 3 $

Výsledek: a) y-5≠0 → D(v)=ℝ{5}; b) 2x-6≥0 → x≥3 → D(v)=⟨3;∞); c) t+1≥0 (t≥-1) a t-2≠0 (t≠2) → D(v)=⟨-1;2)∪(2;∞); d) m²-9≠0 → (m-3)(m+3)≠0 → m≠±3 → D(v)=ℝ{-3;3}; e) n²+4≥4>0 vždy → D(v)=ℝ

Zdroje

Upraveno z: realisticky.cz — Výrazy, definiční obor (01 Matematika SŠ, 01 Základní poznatky, 07 Výrazy).