Iracionální rovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala konkrétní zadání příkladů vložená jako obrázky, která se při převodu ztratila beze zbytku (zůstal jen obecný popis postupu, ne čísla samotných rovnic). Teorie a postup jsou rekonstruované věrně podle zachovaného textu; konkrétní příklady níže jsou nově vytvořené (nelze je z podkladu obnovit), ale demonstrují přesně tentýž typ úlohy a stejné poučení o cizích kořenech, jaké bylo v původním materiálu.

Osnova

a) pojem iracionální rovnice, b) znalosti potřebné k řešení, c) ukázkové příklady, d) příklady na procvičení včetně řešení.

Iracionální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá $x$ vyskytuje pod odmocninou (v odmocněnci) — tedy rovnice obsahující jednu nebo víc odmocnin s neznámou.

Pozn.: u iracionálních rovnic je nutné vždy provést zkoušku — umocnění obou stran rovnice není ekvivalentní úprava a může přidat tzv. cizí kořen, který zadání ve skutečnosti nesplňuje.

Znalosti potřebné k řešení

Druhá mocnina dvojčlenu: při řešení se často pracuje s těmito vzorci:

$(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$

$(a - b) 2 = a 2 - 2 ab + b 2$

Postup řešení:

Osamostatníme odmocninu na jedné straně rovnice (pokud je to možné).
Umocníme obě strany rovnice jako celek na druhou — tím se zbavíme odmocniny.
Dostaneme běžnou (často kvadratickou) rovnici — tu vyřešíme obvyklým způsobem.
Provedeme zkoušku dosazením každého nalezeného kořene zpět do původní rovnice — pouze kořeny, pro které zkouška vyjde, jsou skutečným řešením.

Ukázkový příklad

Řešte rovnici $\sqrt x + 7 = x + 1$ .

Umocníme obě strany: $x + 7 = (x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1$

Upravíme na kvadratickou rovnici: $x 2 + x - 6 = 0$

Vyřešíme: $(x + 3)(x - 2) = 0$ , tedy $x 1 = -3$ , $x 2 = 2$ .

Zkouška:

$x 1 = -3$ : $L = \sqrt -3 + 7 = \sqrt 4 = 2$ , ale $P = -3 + 1 = -2$ . $L \neq = P$ — $x 1 $ není řešením (odmocnina nikdy nevyjde záporná, takže už samo $P < 0$ vylučuje tento kořen).
$x 2 = 2$ : $L = \sqrt 2 + 7 = \sqrt 9 = 3$ , $P = 2 + 1 = 3$ . $L = P$ — $x 2 $ je řešením.

Výsledek: $x = 2$

Graf ukazuje přesně, proč $x 1 = -3$ byl cizí kořen: funkce $y = \sqrt x + 7 $ (vždy nezáporná) a $y = x + 1$ se skutečně protínají jen jednou, v bodě $x = 2$ — u $x = -3$ umocněním vzniklá rovnice “vidí” průsečík, který ve skutečnosti neexistuje, protože tam je $x + 1$ záporné:

y = √(x+7) a y = x+1 — jediný skutečný průsečík je x = 2

Příklady na procvičení

Příklad 1: Řešte rovnici $\sqrt 2 x - 3 = x - 3$ .

Výsledek:

po umocnění: 2x − 3 = x² − 6x + 9, tedy x² − 8x + 12 = 0
kořeny: x₁ = 2, x₂ = 6
zkouška: x₁=2: L=√1=1, P=2−3=−1, L≠P — není řešením. x₂=6: L=√9=3, P=6−3=3, L=P — je řešením.
výsledek: x = 6

Příklad 2: Řešte rovnici $\sqrt x - 1 = - x$ .

Výsledek:

po umocnění: x − 1 = x², tedy x² − x + 1 = 0
diskriminant: D = 1 − 4 = −3 < 0 — rovnice nemá žádný reálný kořen
výsledek: rovnice nemá řešení (i bez zkoušky — pravá strana −x by navíc pro x≥1, jak vyžaduje definiční obor odmocniny, musela být záporná, což odmocnina nikdy nesplní)

Shrnutí

Iracionální rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou.
Řeší se osamostatněním odmocniny a umocněním obou stran.
Vždy je nutné provést zkoušku — umocnění může přidat cizí kořen, který rovnici ve skutečnosti nesplňuje.

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6