Vlastnosti kombinačních čísel

Doplněný obsah — není z archivu podkladů, napsáno podle ŠVP. Vhodné ověřit u vyučujícího.

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace se při převodu ukázala jako prázdná (obsah byl výhradně v animacích, které konverze nezachytila). Celý obsah tohoto tématu je proto nově napsaný a navazuje na Kombinace bez opakování, kde byl kombinační číslo $(n k )$ zavedeno.

Kombinační čísla $(n k ) = k!(n - k)! n! $ mají několik užitečných vlastností, které se hodí jak k rychlému výpočtu, tak k důkazům dalších vzorců (např. binomické věty).

Krajní hodnoty

$(n 0 ) = 1, (n n ) = 1$

Existuje přesně jeden způsob, jak vybrat „nic” (prázdnou skupinu) nebo jak vybrat „všechno” (celou n-tici) z $n$ prvků.

Symetrie

$(n k ) = (n n - k )$

Vybrat $k$ prvků, které DO skupiny patří, je stejně možností jako vybrat $n - k$ prvků, které do skupiny nepatří — jde jen o dva pohledy na tentýž výběr.

Příklad: $(83 ) = (85 )$ , protože obojí se rovná $3! \cdot 5! 8! $ .

Pascalovo pravidlo (součtový vzorec)

$(n k ) = (n - 1 k - 1 ) + (n - 1 k )$

Toto pravidlo říká, že každé kombinační číslo je součtem dvou kombinačních čísel „o řádek výš” — je to přesně pravidlo, podle kterého se sestrojuje Pascalův trojúhelník: každé číslo je součtem dvou čísel nad ním.

Odvození (myšlenkově): vybíráme $k$ -člennou skupinu z $n$ prvků. Zaměříme se na jeden konkrétní prvek $X$ . Buď $X$ ve skupině je (pak zbývá vybrat $k - 1$ prvků ze zbylých $n - 1$ , tedy $(n - 1 k - 1 )$ možností), nebo $X$ ve skupině není (pak vybíráme celých $k$ prvků ze zbylých $n - 1$ , tedy $(n - 1 k )$ možností). Součet obou případů pokrývá všechny možnosti.

Součet řádku Pascalova trojúhelníku

$(n 0 ) + (n 1 ) + (n 2 ) + \dots + (n n ) = 2 n$

Součet všech kombinačních čísel v $n$ -tém řádku je $2 n$ — to odpovídá tomu, že $n$ -prvková množina má celkem $2 n$ různých podmnožin (každý prvek buď do podmnožiny patří, nebo ne — dvě možnosti pro každý z $n$ prvků).

Příklady

Příklad 1: Ověřte Pascalovo pravidlo pro $(62 )$ .

Výsledek: C(6,2) = 15. Podle pravidla by mělo platit C(5,1) + C(5,2) = 5 + 10 = 15. Souhlasí.

Příklad 2: Kolik podmnožin (včetně prázdné a celé množiny) má pětiprvková množina?

Výsledek: 2⁵ = 32 podmnožin — přímo podle vzorce pro součet řádku Pascalova trojúhelníku.

Příklad 3: Bez počítání faktoriálů určete, čemu se rovná $(107 )$ , víte-li, že $(103 ) = 120$ .

Výsledek: podle symetrie C(10,7) = C(10,3) = 120

Zdroje

CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.