Geometrická posloupnost

Pozn. k obsahu: Vzorec pro součet geometrické řady byl v PDF vložen jako obrázek, který se zcela ztratil (zůstaly jen prázdné řádky “S₂₀ =”) — doplněn standardní vzorec i s novým ukázkovým příkladem, protože původní čísla zadání se nedochovala. U cvičení 2 a 3 obsahoval dochovaný text početní chybu (u příkladu 2 dosazoval do vzorce špatný exponent, u příkladu 3 totéž) — přepočítáno správně od začátku, s poznámkou u obou.

Geometrická posloupnost je taková posloupnost, pro kterou existuje reálné číslo $q$ (nazývané kvocient) takové, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:

$a n +1 = a n \cdot q$

Geometrická posloupnost se tedy vždy násobí stejným číslem — např. pro $q = 3$ :

$$1,\ \underbrace{3}{\times3},\ \underbrace{9}{\times3},\ \underbrace{27}{\times3},\ \underbrace{81}{\times3},\ \dots$$

Vzorce a ukázkové příklady

Výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a kvocientu:

$a n +1 = a n \cdot q$

Příklad: $a 1 = 3$ , $q = 4$ . Určete $a 2 $ , $a 3 $ .

$a 2 = a 1 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12, a 3 = a 2 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$

Výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a kvocientu:

$a n = a 1 \cdot q n -1$

Příklad: $a 1 = -7$ , $q = -2$ . Určete $a 5 $ .

$a 5 = -7 \cdot (-2) 5-1 = -7 \cdot (-2) 4 = -7 \cdot 16 = -112$

Výpočet libovolného členu pomocí jiného členu a kvocientu:

$a s = a r \cdot q s - r$

Příklad: $a 3 = -2$ , $a 7 = -32$ . Určete $q$ .

$a 7 = a 3 \cdot q 7-3 ⟹ -32 = -2 \cdot q 4 ⟹ 16 = q 4 ⟹ q = 2 nebo q = -2$

Pozor: sudá odmocnina (zde 4.) z kladného čísla má vždy dva reálné výsledky (např. $4 \sqrt 16 = \pm2$ ), zatímco lichá odmocnina z libovolného čísla má výsledek jediný (např. $3 \sqrt -27 = -3$ ) a sudá odmocnina ze záporného čísla nemá v reálných číslech řešení žádné. Proto zde vychází pro $q$ dvě různá řešení — obě je potřeba uvést, protože další členy posloupnosti (např. $a 4 $ ) pro ně vyjdou různě (pro $q = 2$ kladné, pro $q = -2$ se střídavým znaménkem).

Součet konečného počtu členů geometrické posloupnosti (pro $q \neq = 1$ ):

$S n = a 1 \cdot q - 1 q n - 1 $

(Pro $q = 1$ jsou všechny členy stejné jako $a 1 $ , takže prostě $S n = n \cdot a 1 $ .)

Příklad: $a 1 = 1$ , $q = 2$ , $n = 10$ . Určete $S 10 $ .

$S 10 = 1 \cdot 2 - 1 210 - 1 = 1 1024 - 1 = 1023$

Příklady na procvičení

1. Určete členy $a 2 $ , $a 3 $ a $a 8 $ geometrické posloupnosti, když $a 1 = 2$ , $q = -3$ .

Výsledek: a₂=a₁·q=2·(-3)=-6; a₃=a₂·q=-6·(-3)=18; a₈=a₁·q⁷=2·(-3)⁷=2·(-2187)=-4374

2. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, když $a 3 = 8$ , $a 7 = 128$ .

Výsledek: a₇=a₃·q⁴ → 128=8q⁴ → q⁴=16 → q=2 nebo q=-2; a₃=a₁·q² → 8=a₁·q²; protože q²=4 pro OBĚ hodnoty q, vychází a₁=8/4=2 v obou případech — a₁=2, q=2 nebo q=-2 (pozn.: dochovaný text zde chybně počítal s a₁=8 — vzniklo záměnou exponentu při dosazení do vzorce, správný výsledek je a₁=2)

3. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, když $a 4 = 3$ , $a 7 = -81$ .

Výsledek: a₇=a₄·q³ → -81=3q³ → q³=-27 → q=-3 (lichá odmocnina, jediné řešení); a₄=a₁·q³ → 3=a₁·(-27) → a₁=-1/9 (pozn.: dochovaný text zde chybně dosazoval q⁴ místo q³ a vyšlo mu a₁=-1 — ověřeno zpětným dosazením: a₁=-1/9, q=-3 dává a₂=1/3, a₃=-1, a₄=3 ✓, a₅=-9, a₆=27, a₇=-81 ✓, tedy správný výsledek je a₁=-1/9)

4. $a 1 = -6$ , $q = 2$ . Určete $S 10 $ .

Výsledek: S₁₀=a₁·(q¹⁰-1)/(q-1)=-6·(1024-1)/1=-6·1023=-6138

Shrnutí

Geometrická posloupnost se neustále násobí stejným číslem — kvocientem $q$ .

$a n +1 = a n \cdot q a n = a 1 \cdot q n -1 a s = a r \cdot q s - r S n = a 1 \cdot q - 1 q n - 1 (q \neq = 1)$

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-318-6.