Pozn. k obsahu: Vzorec pro součet geometrické řady byl v PDF vložen jako obrázek, který se zcela ztratil (zůstaly jen prázdné řádky “S₂₀ =”) — doplněn standardní vzorec i s novým ukázkovým příkladem, protože původní čísla zadání se nedochovala. U cvičení 2 a 3 obsahoval dochovaný text početní chybu (u příkladu 2 dosazoval do vzorce špatný exponent, u příkladu 3 totéž) — přepočítáno správně od začátku, s poznámkou u obou.
Geometrická posloupnost je taková posloupnost, pro kterou existuje reálné číslo q (nazývané kvocient) takové, že pro každé přirozené číslo n platí:
an+1=an⋅q
Geometrická posloupnost se tedy vždy násobí stejným číslem — např. pro q=3:
1, ×33, ×39, ×327, ×381, …
Na rozdíl od aritmetické posloupnosti (přímka) leží členy geometrické posloupnosti na exponenciální křivce an=a1⋅qn−1 (pro a1=3, q=4):
Vzorce a ukázkové příklady
Výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a kvocientu:
an+1=an⋅q
Příklad: a1=3, q=4. Určete a2, a3.
a2=a1⋅4=3⋅4=12
a3=a2⋅4=12⋅4=48
Výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a kvocientu:
an=a1⋅qn−1
Příklad: a1=−7, q=−2. Určete a5.
a5=−7⋅(−2)5−1=−7⋅(−2)4=−7⋅16=−112
Výpočet libovolného členu pomocí jiného členu a kvocientu:
as=ar⋅qs−r
Příklad: a3=−2, a7=−32. Určete q.
a7=a3⋅q7−3⟹−32=−2⋅q4⟹16=q4⟹q=2 nebo q=−2
Pozor: sudá odmocnina (zde 4.) z kladného čísla má vždy dva reálné výsledky (např. 4√16=±2), zatímco lichá odmocnina z libovolného čísla má výsledek jediný (např. 3√−27=−3) a sudá odmocnina ze záporného čísla nemá v reálných číslech řešení žádné. Proto zde vychází pro q dvě různá řešení — obě je potřeba uvést, protože další členy posloupnosti (např. a4) pro ně vyjdou různě (pro q=2 kladné, pro q=−2 se střídavým znaménkem).
Součet konečného počtu členů geometrické posloupnosti (pro q=1):
Sn=a1⋅q−1qn−1
(Pro q=1 jsou všechny členy stejné jako a1, takže prostě Sn=n⋅a1.)
Příklad: a1=1, q=2, n=10. Určete S10.
S10=1⋅2−1210−1=11024−1=1023
Příklady na procvičení
1. Určete členy a2, a3 a a8 geometrické posloupnosti, když a1=2, q=−3.
Výsledek: a₂=a₁·q=2·(-3)=-6; a₃=a₂·q=-6·(-3)=18; a₈=a₁·q⁷=2·(-3)⁷=2·(-2187)=-4374
2. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, když a3=8, a7=128.
Výsledek: a₇=a₃·q⁴ → 128=8q⁴ → q⁴=16 → q=2 nebo q=-2; a₃=a₁·q² → 8=a₁·q²; protože q²=4 pro OBĚ hodnoty q, vychází a₁=8/4=2 v obou případech — a₁=2, q=2 nebo q=-2 (pozn.: dochovaný text zde chybně počítal s a₁=8 — vzniklo záměnou exponentu při dosazení do vzorce, správný výsledek je a₁=2)
3. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, když a4=3, a7=−81.
Výsledek: a₇=a₄·q³ → -81=3q³ → q³=-27 → q=-3 (lichá odmocnina, jediné řešení); a₄=a₁·q³ → 3=a₁·(-27) → a₁=-1/9 (pozn.: dochovaný text zde chybně dosazoval q⁴ místo q³ a vyšlo mu a₁=-1 — ověřeno zpětným dosazením: a₁=-1/9, q=-3 dává a₂=1/3, a₃=-1, a₄=3 ✓, a₅=-9, a₆=27, a₇=-81 ✓, tedy správný výsledek je a₁=-1/9)
4. a1=−6, q=2. Určete S10.
Výsledek: S₁₀=a₁·(q¹⁰-1)/(q-1)=-6·(1024-1)/1=-6·1023=-6138
Shrnutí
Geometrická posloupnost se neustále násobí stejným číslem — kvocientem q.
an+1=an⋅q
an=a1⋅qn−1
as=ar⋅qs−r
Sn=a1⋅q−1qn−1 (q=1)
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-318-6.