Složené výroky - konjunkce a disjunkce

Složené výroky jsou tvořeny dvěma a více jednoduchými výroky. Zajímá nás, jak závisí pravdivost složeného výroku na pravdivosti výroků, z nichž je utvořen. Nejdůležitější složené výroky jsou konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence (poslední dvě viz Implikace a ekvivalence).

Konjunkce

Konjunkce libovolných výroků $a$ , $b$ je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou a. Zapisujeme $a \land b$ , čteme “ $a$ a zároveň $b$ ”.

Příklad: $a$ : Číslo 5 je prvočíslo. $b$ : Číslo 5 je sudé. $c$ : Číslo 5 je liché. $d$ : Číslo 5 je záporné.

$a \land d$ : “Číslo 5 je prvočíslo a zároveň je záporné.”

Určete pravdivost výroků $a \land c$ , $b \land c$ , $b \land d$ .

Výsledek: a=pravdivý, b=nepravdivý, c=pravdivý, d=nepravdivý; a∧c: “prvočíslo a zároveň liché” → pravdivý (T∧T); b∧c: “sudé a zároveň liché” → nepravdivý (F∧T); b∧d: “sudé a zároveň záporné” → nepravdivý (F∧F); (mimochodem i a∧d ze zadání je nepravdivý: T∧F)

Konjunkce výroků $a$ , $b$ je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé oba výroky $a$ , $b$ . Je nepravdivá, pokud je alespoň jeden z nich nepravdivý.

Disjunkce

Disjunkce libovolných výroků $a$ , $b$ je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou nebo. Zapisujeme $a \lor b$ , čteme “ $a$ nebo $b$ ”.

Příklad: (stejné výroky $a, b, c, d$ jako výše) $a \lor d$ : “Číslo 5 je prvočíslo nebo je záporné.”

Určete pravdivost výroků $a \lor c$ , $b \lor c$ , $b \lor d$ .

Výsledek: a∨c: “prvočíslo nebo liché” → pravdivý (T∨T); b∨c: “sudé nebo liché” → pravdivý (F∨T); b∨d: “sudé nebo záporné” → nepravdivý (F∨F); (a∨d ze zadání je pravdivý: T∨F)

Disjunkce výroků $a$ , $b$ je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý alespoň jeden z výroků $a$ , $b$ . Je nepravdivá, jen když jsou nepravdivé oba dva.

Tabulka pravdivostních hodnot

Pravdivost složeného výroku závisí na pravdivosti výroků, ze kterých je tvořen — vyjadřujeme ji tabulkou pravdivostních hodnot, kde $1$ značí pravdivý výrok a $0$ nepravdivý.

Negace $\neg a$ :

$a$	$\neg a$
1	0
0	1

Konjunkce $a \land b$ a disjunkce $a \lor b$ :

$a$	$b$	$a \land b$	$a \lor b$
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	0

V prvních dvou sloupcích jsou všechny možné kombinace pravdivosti $a$ , $b$ ; další sloupce vyjadřují pravdivostní hodnotu daného složeného výroku pro každou kombinaci.

Příklad: Vyšetřete pravdivost výroku $(\neg a \lor b) \land a$ .

Pozn.: $\neg a \lor b = (\neg a) \lor b$ , nikoliv $\neg (a \lor b)$ — negace se vztahuje jen k $a$ .

$a$	$b$	$\neg a$	$\neg a \lor b$	$(\neg a \lor b) \land a$
1	1	0	1	1
1	0	0	0	0
0	1	1	1	0
0	0	1	1	0

Výrok $(\neg a \lor b) \land a$ je pravdivý právě tehdy, když jsou pravdivé oba výroky $a$ , $b$ (poslední sloupec vychází 1 jen na prvním řádku) — je tedy logicky ekvivalentní s $a \land b$ .

Zdroje

Zdrojový dokument: mat2/Složené výroky - konjunkce a disjunkce.pdf