Pozn. k obsahu: Vzorce a ukázkové příklady se z velké části dochovaly v textu, jen s drobnými OCR artefakty (chybějící index “a” u některých členů, např. “2 = a1 + 4” místo “a2 = a1 + 4”) — opraveno podle kontextu a přepočtem ověřeno. Vzorce přepsány do LaTeXu.
Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, pro kterou existuje reálné číslo d (nazývané diference) takové, že pro každé přirozené číslo n platí:
an+1=an+d
Aritmetická posloupnost se tedy vždy zvětšuje (nebo zmenšuje) o stejnou hodnotu — např. pro d=2:
1, +23, +25, +27, +29, …
Členy aritmetické posloupnosti leží na přímce — je to totiž jen lineární funkce an=a1+(n−1)d vyčíslená pro přirozená čísla n (pro a1=3, d=4):
Vzorce a ukázkové příklady
Výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a diference:
an+1=an+d
Příklad: a1=3, d=4. Určete a2, a3.
a2=a1+4=3+4=7
a3=a2+4=7+4=11
Výpočet členu pomocí sousedních členů:
an=2an+1+an−1
Příklad: a2=−7, a4=1. Určete a3.
a3=2a4+a2=21+(−7)=2−6=−3
Výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a diference:
an=a1+(n−1)⋅d
Příklad: a1=3, d=4. Určete a20.
a20=3+(20−1)⋅4=3+19⋅4=3+76=79
Výpočet libovolného členu pomocí jiného členu a diference:
ar=as+(r−s)⋅d
Příklad: a5=−2, d=2. Určete a18.
a18=−2+(18−5)⋅2=−2+13⋅2=−2+26=24
Součet konečného počtu členů aritmetické posloupnosti:
Sn=2n⋅(a1+an)
Příklad: a1=3, a20=142, n=20. Určete S20.
S20=220⋅(3+142)=10⋅145=1450
Příklady na procvičení
1. a1=−2, d=−3. Určete a124.
Výsledek: a₁₂₄ = a₁+(124-1)d = -2+123·(-3) = -2-369 = -371
2. a1=4, a16=−84. Určete d.
Výsledek: a₁₆=a₁+(16-1)d → -84=4+15d → -88=15d → d=-88/15 ≈ -5,87
3. a6=15, d=−21. Určete a33.
Výsledek: a₃₃=a₆+(33-6)d=15+27·(-½)=15-13,5=1,5 (pozn.: za “ar” dosazujeme pořadově vyšší člen, zde a₃₃)
4. a8=−10, a14=8. Určete d a a1.
Výsledek: a₁₄=a₈+(14-8)d → 8=-10+6d → 18=6d → d=3; dále a₁₄=a₁+(14-1)d → 8=a₁+13·3 → 8=a₁+39 → a₁=-31
5. a1=15, d=3. Určete S11.
Výsledek: nejprve a₁₁=a₁+(11-1)d=15+10·3=45; pak S₁₁=11/2·(a₁+a₁₁)=5,5·(15+45)=5,5·60=330
Slovní úlohy
1. Vypočítejte součet prvních sta kladných sudých čísel.
Výsledek: a₁=2, a₂=4,… → d=2; a₁₀₀=a₁+(100-1)d=2+99·2=200; S₁₀₀=100/2·(a₁+a₁₀₀)=50·(2+200)=50·202=10100
2. Dělník vyrobí za směnu 40 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 12 směn, kdyby svůj výkon postupně zvyšoval každou směnu o 3 součástky?
Výsledek: a₁=40, d=3, n=12; a₁₂=a₁+(12-1)d=40+11·3=73; S₁₂=12/2·(a₁+a₁₂)=6·(40+73)=6·113=678 součástek
Shrnutí
Aritmetická posloupnost se neustále zvětšuje či zmenšuje o stejnou hodnotu — diferenci d.
an+1=an+d
an=2an+1+an−1
an=a1+(n−1)d
ar=as+(r−s)d
Sn=2n(a1+an)
Zdroje
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-318-6.