Aritmetická posloupnost

Pozn. k obsahu: Vzorce a ukázkové příklady se z velké části dochovaly v textu, jen s drobnými OCR artefakty (chybějící index “a” u některých členů, např. “2 = a1 + 4” místo “a2 = a1 + 4”) — opraveno podle kontextu a přepočtem ověřeno. Vzorce přepsány do LaTeXu.

Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, pro kterou existuje reálné číslo $d$ (nazývané diference) takové, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:

$a n +1 = a n + d$

Aritmetická posloupnost se tedy vždy zvětšuje (nebo zmenšuje) o stejnou hodnotu — např. pro $d = 2$ :

$$1,\ \underbrace{3}{+2},\ \underbrace{5}{+2},\ \underbrace{7}{+2},\ \underbrace{9}{+2},\ \dots$$

Vzorce a ukázkové příklady

Výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a diference:

$a n +1 = a n + d$

Příklad: $a 1 = 3$ , $d = 4$ . Určete $a 2 $ , $a 3 $ .

$a 2 = a 1 + 4 = 3 + 4 = 7, a 3 = a 2 + 4 = 7 + 4 = 11$

Výpočet členu pomocí sousedních členů:

$a n = 2 a n +1 + a n -1 $

Příklad: $a 2 = -7$ , $a 4 = 1$ . Určete $a 3 $ .

$a 3 = 2 a 4 + a 2 = 2 1 + (-7) = 2 -6 = -3$

Výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a diference:

$a n = a 1 + (n - 1) \cdot d$

Příklad: $a 1 = 3$ , $d = 4$ . Určete $a 20 $ .

$a 20 = 3 + (20 - 1) \cdot 4 = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$

Výpočet libovolného členu pomocí jiného členu a diference:

$a r = a s + (r - s) \cdot d$

Příklad: $a 5 = -2$ , $d = 2$ . Určete $a 18 $ .

$a 18 = -2 + (18 - 5) \cdot 2 = -2 + 13 \cdot 2 = -2 + 26 = 24$

Součet konečného počtu členů aritmetické posloupnosti:

$S n = 2 n \cdot (a 1 + a n )$

Příklad: $a 1 = 3$ , $a 20 = 142$ , $n = 20$ . Určete $S 20 $ .

$S 20 = 220 \cdot (3 + 142) = 10 \cdot 145 = 1450$

Příklady na procvičení

1. $a 1 = -2$ , $d = -3$ . Určete $a 124 $ .

Výsledek: a₁₂₄ = a₁+(124-1)d = -2+123·(-3) = -2-369 = -371

2. $a 1 = 4$ , $a 16 = -84$ . Určete $d$ .

Výsledek: a₁₆=a₁+(16-1)d → -84=4+15d → -88=15d → d=-88/15 ≈ -5,87

3. $a 6 = 15$ , $d = - 21 $ . Určete $a 33 $ .

Výsledek: a₃₃=a₆+(33-6)d=15+27·(-½)=15-13,5=1,5 (pozn.: za “ar” dosazujeme pořadově vyšší člen, zde a₃₃)

4. $a 8 = -10$ , $a 14 = 8$ . Určete $d$ a $a 1 $ .

Výsledek: a₁₄=a₈+(14-8)d → 8=-10+6d → 18=6d → d=3; dále a₁₄=a₁+(14-1)d → 8=a₁+13·3 → 8=a₁+39 → a₁=-31

5. $a 1 = 15$ , $d = 3$ . Určete $S 11 $ .

Výsledek: nejprve a₁₁=a₁+(11-1)d=15+10·3=45; pak S₁₁=11/2·(a₁+a₁₁)=5,5·(15+45)=5,5·60=330

Slovní úlohy

1. Vypočítejte součet prvních sta kladných sudých čísel.

Výsledek: a₁=2, a₂=4,… → d=2; a₁₀₀=a₁+(100-1)d=2+99·2=200; S₁₀₀=100/2·(a₁+a₁₀₀)=50·(2+200)=50·202=10100

2. Dělník vyrobí za směnu 40 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 12 směn, kdyby svůj výkon postupně zvyšoval každou směnu o 3 součástky?

Výsledek: a₁=40, d=3, n=12; a₁₂=a₁+(12-1)d=40+11·3=73; S₁₂=12/2·(a₁+a₁₂)=6·(40+73)=6·113=678 součástek

Shrnutí

Aritmetická posloupnost se neustále zvětšuje či zmenšuje o stejnou hodnotu — diferenci $d$ .

$a n +1 = a n + d a n = 2 a n +1 + a n -1 a n = a 1 + (n - 1) d a r = a s + (r - s) d S n = 2 n (a 1 + a n )$

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-318-6.