Parametrické vyjádření přímky

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala u úvodního snímku funkční text, další snímky ale byly jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — chybějící část je doplněna odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Přímka je jednoznačně určena dvěma body. Dvojic bodů, které danou přímku určují, je nekonečně mnoho — každá taková dvojice ale určuje směrový vektor, který je (až na násobek) stejný. Přímka má tedy nekonečně mnoho směrových vektorů, všechny navzájem rovnoběžné (viz Směrový a normálový vektor).

Parametrické vyjádření přímky

Přímku $p$ procházející bodem $A = [x A ; y A ]$ se směrovým vektorem $s ⃗ = (s 1 ; s 2 )$ popisuje parametrická rovnice:

$p : X = A + t \cdot s ⃗, t \in R$

Po rozepsání do souřadnic (tzv. parametrické rovnice přímky):

$x = x A + t \cdot s 1 , y = y A + t \cdot s 2 , t \in R$

Parametr $t$ postupně “prochází” všechna reálná čísla a pro každé $t$ dostaneme jeden bod přímky — $t = 0$ dává přímo bod $A$ , jiné hodnoty $t$ dávají ostatní body přímky posunuté ve směru $s ⃗$ .

x=1+2t, y=-1+3t (A=[1;-1], s=(2;3))

Příklad: Napište parametrické rovnice přímky procházející bodem $A = [1; -1]$ se směrovým vektorem $s ⃗ = (2; 3)$ .

$x = 1 + 2 t, y = -1 + 3 t, t \in R$

Příklad: Leží bod $B = [5; 5]$ na přímce z předchozího příkladu?

Dosadíme a hledáme, zda existuje společné $t$ : z první rovnice $5 = 1 + 2 t ⟹ t = 2$ . Ověříme ve druhé: $y = -1 + 3 \cdot 2 = 5$ ✓ — sedí, bod $B$ na přímce leží (pro $t = 2$ ).

Příklady

1. Napište parametrické rovnice přímky procházející body $A = [2; 1]$ , $B = [5; 7]$ .

Výsledek: s = B-A = (3;6); x=2+3t, y=1+6t, t∈ℝ (nebo rovnocenně se zkráceným směrovým vektorem s=(1;2): x=2+t, y=1+2t)

2. Zjistěte, zda bod $C = [8; 13]$ leží na přímce $x = 2 + 3 t$ , $y = 1 + 6 t$ .

Výsledek: z x: 8=2+3t → t=2; dosazením do y: y=1+6·2=13 ✓ → bod C na přímce leží

3. Zjistěte, zda bod $D = [8; 12]$ leží na přímce $x = 2 + 3 t$ , $y = 1 + 6 t$ .

Výsledek: z x: 8=2+3t → t=2; dosazením do y: y=1+6·2=13≠12 → bod D na přímce NEleží

4. Určete souřadnice bodu na přímce $x = 3 - t$ , $y = 2 + 4 t$ pro $t = 1$ a pro $t = -2$ .

Výsledek: pro t=1: [3-1; 2+4]=[2;6]; pro t=-2: [3+2; 2-8]=[5;-6]

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006