Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala u úvodního snímku funkční text, další snímky ale byly jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — chybějící část je doplněna odpovídající standardnímu rozsahu tématu.
Přímka je jednoznačně určena dvěma body. Dvojic bodů, které danou přímku určují, je nekonečně mnoho — každá taková dvojice ale určuje směrový vektor, který je (až na násobek) stejný. Přímka má tedy nekonečně mnoho směrových vektorů, všechny navzájem rovnoběžné (viz Směrový a normálový vektor).
Přímku p procházející bodem A=[xA;yA] se směrovým vektorem s⃗=(s1;s2) popisuje parametrická rovnice:
p: X=A+t⋅s⃗,t∈R
Po rozepsání do souřadnic (tzv. parametrické rovnice přímky):
x=xA+t⋅s1,y=yA+t⋅s2,t∈R
Parametr t postupně “prochází” všechna reálná čísla a pro každé t dostaneme jeden bod přímky — t=0 dává přímo bod A, jiné hodnoty t dávají ostatní body přímky posunuté ve směru s⃗.
Příklad: Napište parametrické rovnice přímky procházející bodem A=[1;−1] se směrovým vektorem s⃗=(2;3).
x=1+2t,y=−1+3t,t∈R
Příklad: Leží bod B=[5;5] na přímce z předchozího příkladu?
Dosadíme a hledáme, zda existuje společné t: z první rovnice 5=1+2t⟹t=2. Ověříme ve druhé: y=−1+3⋅2=5 ✓ — sedí, bod B na přímce leží (pro t=2).
Příklady
1. Napište parametrické rovnice přímky procházející body A=[2;1], B=[5;7].
Výsledek: s = B-A = (3;6); x=2+3t, y=1+6t, t∈ℝ (nebo rovnocenně se zkráceným směrovým vektorem s=(1;2): x=2+t, y=1+2t)
2. Zjistěte, zda bod C=[8;13] leží na přímce x=2+3t, y=1+6t.
Výsledek: z x: 8=2+3t → t=2; dosazením do y: y=1+6·2=13 ✓ → bod C na přímce leží
3. Zjistěte, zda bod D=[8;12] leží na přímce x=2+3t, y=1+6t.
Výsledek: z x: 8=2+3t → t=2; dosazením do y: y=1+6·2=13≠12 → bod D na přímce NEleží
4. Určete souřadnice bodu na přímce x=3−t, y=2+4t pro t=1 a pro t=−2.
Výsledek: pro t=1: [3-1; 2+4]=[2;6]; pro t=-2: [3+2; 2-8]=[5;-6]
Zdroje
KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.
HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006