Pozn.: Zdrojové PDF obsahovalo text ve formě, kterou automatický převod nedokázal přečíst (stránka vypadala prázdná). Zadání je přepsáno ručně; u příkladu 5 se ve zdroji vnořené mocniny/odmocniny překrývaly natolik, že přesné rozmístění závorek nelze zaručit — u příkladů 5b) a 5c) je proto zvolen nejpravděpodobnější výklad, ověřte u vyučujícího. Žádné výsledky se nedochovaly, všechny jsou proto nově dopočítané.
1. Částečně odmocněte
a) √150 b) √80 c) 3√40 d) 3√108 e) √a7 f) 3√b10
Výsledek: a) √150=√(25·6)=5√6; b) √80=√(16·5)=4√5; c) ³√40=³√(8·5)=2·³√5; d) ³√108=³√(27·4)=3·³√4; e) √(a⁷)=√(a⁶·a)=a³√a; f) ³√(b¹⁰)=³√(b⁹·b)=b³·³√b
2. Upravte
a) 3√45−√20−2√80 b) 5√27−2√8−√12+√32
Výsledek: a) √45=3√5, √20=2√5, √80=4√5 → 3·3√5-2√5-2·4√5 = 9√5-2√5-8√5 = -√5; b) √27=3√3, √8=2√2, √12=2√3, √32=4√2 → 5·3√3-2·2√2-2√3+4√2 = 15√3-4√2-2√3+4√2 = 13√3
3. Zapište pomocí racionálního mocnitele
a) 7√3 b) 6√a3 c) 5√a−6 d) (4√a1)6
Výsledek: a) 3^(1/7); b) a^(3/6)=a^(1/2); c) a^(-6/5); d) (a^(-1/4))⁶=a^(-6/4)=a^(-3/2)
4. Vyjádřete součin pomocí jedné odmocniny (převedením na racionální mocnitel)
a) √3⋅3√9 b) √3⋅4√3⋅5√9 c) √a⋅3√a2⋅6√a5
Výsledek: a) 3^(1/2)·9^(1/3)=3^(1/2)·3^(2/3)=3^(7/6)=3·⁶√3 (protože 7/6=1+1/6); b) 3^(1/2)·3^(1/4)·3^(2/5)=3^(10/20+5/20+8/20)=3^(23/20)=3·²⁰√27 (protože 23/20=1+3/20, a 3^(3/20)=²⁰√(3³)=²⁰√27); c) a^(1/2)·a^(2/3)·a^(5/6)=a^(3/6+4/6+5/6)=a^(12/6)=a² (vyjde přesně, bez zbytkové odmocniny!)
5. Zjednodušte
a) (a3/4⋅b−2/3)−1/2⋅(a1/2⋅b−2/3)−3/4
b) (√a3a⋅a−1)−3/5 (přesné umístění závorek ve zdroji nejisté)
c) √x⋅3√x÷√x⋅3√x (přesné umístění závorek ve zdroji nejisté — jak je napsáno doslova, jde o výraz dělený sám sebou)
d) [(a3b)1/3]1/2÷[(a3b−2)1/2]1/3
Výsledek: ||a) první závorka: a^(3/4·-1/2)·b^(-2/3·-1/2)=a^(-3/8)·b^(1/3); druhá závorka: a^(1/2·-3/4)·b^(-2/3·-3/4)=a^(-3/8)·b^(1/2); součin: a^(-3/8-3/8)·b^(1/3+1/2)=a^(-3/4)·b^(5/6)=⁶√(b⁵)/⁴√(a³)
b) a·a⁻¹=1 (a≠0), takže uvnitř zbyde 1/√(a³)=a^(-3/2); celé umocněno na -3/5: (a^(-3/2))^(-3/5)=a^(9/10)=¹⁰√(a⁹)
c) doslovné čtení: libovolný nenulový výraz dělený sám sebou = 1 (mezivýpočet: x·³√x=x^(4/3), takže √(x·³√x)=x^(2/3)=³√(x²) — a x^(2/3)/x^(2/3)=1); vzhledem k nejisté předloze je možné, že šlo o jiný pár výrazů, zachyťte prosím to, co je psáno doslova
d) první část: [(a³b)^(1/3)]^(1/2)=(a³b)^(1/6)=a^(1/2)·b^(1/6); druhá část: [(a³b⁻²)^(1/2)]^(1/3)=(a³b⁻²)^(1/6)=a^(1/2)·b^(-1/3); podíl: a^(1/2-1/2)·b^(1/6+1/3)=a⁰·b^(1/2)=√b||
Zdroje
Zdrojový dokument: mat/procvičení.pdf