Posloupnost – obecná posloupnost

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala funkční definice a přehled vlastností, ale konkrétní vzorce v ukázkových příkladech byly vložené jako obrázky, které se nedochovaly (zůstaly jen prázdné řádky “n = 1:”, “n = 2:” …) — příklady jsou proto doplněny vlastními, reprezentativními zadáními. Vlastnost výsledné posloupnosti v prvním cvičení (“klesající”) byla v podkladu zachována, zadání k ní ale ne — doplněné zadání níže na tuto dochovanou vlastnost přesně sedí.

Posloupnost je řada hodnot (čísel) mající přesné pořadí. Formálně je posloupnost funkce — zobrazení množiny přirozených čísel $N$ do množiny reálných čísel $R$ :

$1, 3, 5, 7, 9, \dots \in R$

$1., 2., 3., 4., 5., \dots \in N$

Členy posloupnosti značíme $a n $ (např. $a 1 ; a 2 ; a 3 ; \dots; a n -1 ; a n ; a n +1 ; \dots$ ) — index $n$ udává pořadí členu.

Graf posloupnosti

Posloupnost je funkce, má tedy i grafické znázornění — protože definičním oborem jsou jen přirozená čísla ( $1, 2, 3, \dots$ ), je grafem posloupnosti vždy množina izolovaných bodů $[n; a n ]$ , nikdy spojitá křivka.

Graf posloupnosti aₙ = 2n − 1

Dělení posloupnosti

konečná posloupnost — má přesně konečný počet členů. Např. seznam žáků ve třídě podle abecedy.
nekonečná posloupnost — má nekonečný počet členů. Např. posloupnost všech kladných sudých čísel: $2, 4, 6, 8, \dots$

Vlastnosti posloupnosti — monotónnost

Posloupnost je (pro každé $n \in N$ ):

rostoucí, když $a n < a n +1 $
klesající, když $a n > a n +1 $
nerostoucí, když $a n \geq a n +1 $
neklesající, když $a n \leq a n +1 $
konstantní, když $a n = a n +1 $ (speciální případ, kdy je posloupnost zároveň nerostoucí i neklesající)

Způsoby zápisu posloupnosti

Vzorcem pro $n$ -tý člen — stačí znát vzorec vyjadřující $a n $ pomocí $n$ , dosazením libovolného $n$ dostaneme přímo daný člen (bez znalosti ostatních). Např. $a n = 2 n - 1$ .
Rekurentním vzorcem — je třeba znát první člen (nebo několik prvních členů) a vzorec, který z předchozích členů vypočítá další. Např. $a 1 = 10, a n +1 = a n - 2$ .

Ukázkové příklady

1. Napište prvních pět členů posloupnosti zadané vzorcem $a n = 2 n - 1$ .

Dosazujeme postupně $n = 1, 2, 3, 4, 5$ :

$a 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1, a 2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3, a 3 = 5, a 4 = 7, a 5 = 9$

Posloupnost je rostoucí (každý další člen je o 2 větší než předchozí).

2. Napište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: $a 1 = 10, a n +1 = a n - 2$ , a určete její vlastnost.

Známe $a 1 = 10$ . Pro $a 2 $ dosadíme $n = 1$ do vzorce $a n +1 = a n - 2$ : $a 2 = a 1 - 2 = 10 - 2 = 8$ . Pro $a 3 $ dosadíme $n = 2$ : $a 3 = a 2 - 2 = 8 - 2 = 6$ . Podobně $a 4 = a 3 - 2 = 4$ a $a 5 = a 4 - 2 = 2$ .

$a 1 = 10, a 2 = 8, a 3 = 6, a 4 = 4, a 5 = 2$

Posloupnost je klesající (každý další člen je o 2 menší než předchozí).

Příklady na procvičení

1. Napište prvních pět členů posloupnosti $a 1 = 10, a n +1 = a n - 2$ a určete její vlastnost. (shodné se zadáním ukázkového příkladu 2 výše — vyzkoušejte si výpočet sami předtím, než nahlédnete na výsledek)

Výsledek: a₁=10, a₂=8, a₃=6, a₄=4, a₅=2; posloupnost je klesající

2. Napište první tři členy posloupnosti zadané vzorcem $a n = n 2 - 1$ .

Výsledek: a₁=1²-1=0; a₂=2²-1=3; a₃=3²-1=8

Shrnutí

Definice posloupnosti — řada čísel s přesným pořadím; funkce; zobrazení $N \to R$ .
Dělení posloupnosti: a) konečná, b) nekonečná.
Způsoby zápisu: a) vzorec pro $n$ -tý člen, b) rekurentní vzorec (první člen/y + vzorec pro další).

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-318-6.