Úhel dvou vektorů

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů $u ⃗ = (u 1 ; u 2 )$ a $v ⃗ = (v 1 ; v 2 )$ je (na rozdíl od součtu či násobku vektoru číslem) obyčejné číslo (skalár), ne vektor:

$u ⃗ \cdot v ⃗ = u 1 v 1 + u 2 v 2 $

Skalární součin souvisí s úhlem $φ$ , který vektory svírají, vztahem $u ⃗ \cdot v ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ \cdot ∣ v ⃗ ∣ \cdot cos φ$ — odtud se odvozuje vzorec pro výpočet úhlu:

$cos φ = ∣ u ⃗ ∣ \cdot ∣ v ⃗ ∣ u ⃗ \cdot v ⃗ $

Příklad: Určete úhel vektorů $u ⃗ = (1; 0)$ a $v ⃗ = (1; 1)$ .

$u ⃗ \cdot v ⃗ = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1, ∣ u ⃗ ∣ = 1, ∣ v ⃗ ∣ = \sqrt 2$

$cos φ = 1 \cdot \sqrt 2 1 = \sqrt 2 1 ⟹ φ = 45°$

Kolmost vektorů

Dva nenulové vektory jsou kolmé (na sebe) právě tehdy, když je jejich skalární součin roven nule (protože $cos 90° = 0$ ):

$u ⃗ ⟂ v ⃗ ⟺ u ⃗ \cdot v ⃗ = 0$

Příklad: Jsou vektory $u ⃗ = (2; 3)$ a $v ⃗ = (-3; 2)$ kolmé?

$u ⃗ \cdot v ⃗ = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0 ⟹ ano, jsou kolmé$

Příklady

1. Vypočítejte skalární součin vektorů $a ⃗ = (4; -1)$ a $b ⃗ = (2; 3)$ .

Výsledek: a·b = 4·2+(-1)·3 = 8-3 = 5

2. Určete úhel vektorů $u ⃗ = (1; 0)$ a $v ⃗ = (-1; \sqrt 3)$ .

Výsledek: ||u·v = 1·(-1)+0·√3 = -1; |u|=1, |v|=√(1+3)=2; cosφ = -1/2 → φ=120°||

3. Zjistěte, zda jsou vektory $u ⃗ = (3; -6)$ a $v ⃗ = (4; 2)$ kolmé.

Výsledek: u·v = 3·4+(-6)·2 = 12-12 = 0 → ano, kolmé

4. Pro jaké číslo $k$ jsou vektory $u ⃗ = (k; 3)$ a $v ⃗ = (2; -4)$ kolmé?

Výsledek: u·v = 2k-12 = 0 → k=6

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.