Úhel dvou vektorů

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace obsahovala jen nadpisy a odrážky bez textu (animované, postupně se odkrývající body) — nešlo z nich rekonstruovat konkrétní zadání. Teorie a příklady jsou proto doplněny odpovídající standardnímu rozsahu tématu.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů u⃗=(u1​;u2​) a v⃗=(v1​;v2​) je (na rozdíl od součtu či násobku vektoru číslem) obyčejné číslo (skalár), ne vektor:

u⃗⋅v⃗=u1​v1​+u2​v2​

Skalární součin souvisí s úhlem φ, který vektory svírají, vztahem u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cosφ — odtud se odvozuje vzorec pro výpočet úhlu:

cosφ=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣u⃗⋅v⃗​

Příklad: Určete úhel vektorů u⃗=(1;0) a v⃗=(1;1).

u⃗⋅v⃗=1⋅1+0⋅1=1

∣u⃗∣=1,∣v⃗∣=√2

cosφ=1⋅√21​=√21​⟹φ=45°

Kolmost vektorů

Dva nenulové vektory jsou kolmé (na sebe) právě tehdy, když je jejich skalární součin roven nule (protože cos90°=0):

u⃗⟂v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0

Příklad: Jsou vektory u⃗=(2;3) a v⃗=(−3;2) kolmé?

u⃗⋅v⃗=2⋅(−3)+3⋅2=−6+6=0⟹ano, jsou kolmé

Příklady

1. Vypočítejte skalární součin vektorů a⃗=(4;−1) a b⃗=(2;3).

Výsledek: a·b = 4·2+(-1)·3 = 8-3 = 5

2. Určete úhel vektorů u⃗=(1;0) a v⃗=(−1;√3).

Výsledek: u·v = 1·(-1)+0·√3 = -1; |u|=1, |v|=√(1+3)=2; cosφ = -1/2 → φ=120°

3. Zjistěte, zda jsou vektory u⃗=(3;−6) a v⃗=(4;2) kolmé.

Výsledek: u·v = 3·4+(-6)·2 = 12-12 = 0 → ano, kolmé

4. Pro jaké číslo k jsou vektory u⃗=(k;3) a v⃗=(2;−4) kolmé?

Výsledek: u·v = 2k-12 = 0 → k=6

Zdroje

KOČANDRLE, Milan, BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2005.

HUDCOVÁ, Milada, KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2006.