Pozn. k obsahu: Rovnice byly v PDF vysázené jako rovnicové objekty, které se při převodu z větší části ztratily — u téměř všech úloh šlo přesné znění zpětně rekonstruovat z dochovaného postupu řešení (zejména z kroku násobení společným jmenovatelem) a přepočtem ověřit shodu s dochovaným výsledkem.
Příklady z maturitních testů Cermatu (základní úroveň) — Kvadratická rovnice
1) V oboru R řešte: x(x−2)+(x−2)(x+2)=0.
Jaro 2011, příklad č. 8. Body: 2. Výsledek: 2;−1.
Řešení: x2−2x+x2−4=0⟹2x2−2x−4=0 /:2⟹x2−x−2=0⟹(x+1)(x−2)=0⟹x1=−1, x2=2.
2) V oboru R řešte: a2−2a+6=5(2−a).
Podzim 2011, příklad č. 4. Body: 2. Výsledek: a1=−4, a2=1.
Řešení: a2−2a+6=10−5a⟹a2+3a−4=0⟹(a−1)(a+4)=0⟹a1=1, a2=−4.
3) Pro n∈N řešte: 100=(0,01n)2.
Jaro 2012, příklad č. 3. Body: 2. Výsledek: n=1,000.
Řešení: 100=0,0001n2 /:0,0001⟹1,000,000=n2⟹n1=1,000, n2=−1,000 (nevyhovuje, n∈N). Výsledek: n=1,000.
Poznámka: Odmocňování nepatří mezi ekvivalentní úpravy rovnice! Kdyby se řešilo v R a rovnou odmocnilo, jeden kořen by se “ztratil”: 100=(0,01n)2 /√ ⟹10=0,01n⟹n=1,000 (ztratili bychom n=−1,000).
4) Je dána rovnice 2x2−x=6. Ve kterém intervalu naleznete oba kořeny?
A) ⟨2;6⟩ B) ⟨0;5⟩ C) ⟨−4;3⟩ D) ⟨−6;−3⟩ E) v žádném z uvedených
Jaro 2012, příklad č. 22. Body: 2. Výsledek: C (kořeny x1=2, x2=−1,5).
Řešení: 2x2−x−6=0, a=2,b=−1,c=−6, D=1+48=49, √D=7: x1,2=41±7, x1=2, x2=−1,5 — oba leží v ⟨−4;3⟩.
5) V oboru R řešte: 2x2−2=3x.
Podzim 2012, příklad č. 4. Body: 2.
Řešení: 2x2−3x−2=0, a=2,b=−3,c=−2, D=9+16=25, √D=5: x1,2=43±5, x1=2, x2=−0,5.
6) V oboru R řešte: 3x(x+1)=9x2.
Jaro 2013, příklad č. 6. Body: 1. Výsledek: K=0;21.
Řešení: 3x2+3x=9x2⟹0=6x2−3x /:3⟹0=2x2−x⟹0=x(2x−1)⟹x1=0, x2=21.
7) V oboru R řešte: 2x=1+x4.
Podzim 2013, příklad č. 10. Body: 2. Výsledek: K=−2;4; podmínky x=0.
Řešení: /⋅2x: x2=2x+8⟹x2−2x−8=0⟹(x+2)(x−4)=0⟹x1=−2, x2=4.
8) Stanovte podmínky a v R řešte: 3x2−33x2+5x+2=0.
Podzim 2014, příklad č. 5. Body: 3. Výsledek: x=−32.
Řešení: podmínky 3x2−3=0 /:3⟹x2=1⟹x=±1. Čitatel: 3x2+5x+2=0, a=3,b=5,c=2, D=25−24=1: x1,2=6−5±1, x1=−32, x2=−1 (nevyhovuje podmínkám). Rovnice má jediné řešení x=−32.
9) V oboru R řešte: 4−yy−7−y−43−2y=0.
Jaro 2015, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: K=−4; podmínky y=4.
Řešení (1. způsob): /⋅(4−y)(y−4): (y−7)(y−4)−(3−2y)(4−y)=0. (Pozor, nutno uzávorkovat — násobení má přednost před odčítáním, ve druhé závorce dojde ke změně znamének.)
y2−11y+28−(12−11y+2y2)=0⟹−y2+16=0⟹y2=16⟹y1=−4, y2=4 (nevyhovuje)
Zkouška: L=4−(−4)−4−7−−4−43−2(−4)=8−11−−811=0=P ✓.
Řešení (2. způsob): druhý zlomek rozšíříme (−1), čímž se zjednoduší společný jmenovatel — rovnice bude lineární, ne kvadratická. (Pozor na znaménko, před druhým zlomkem je mínus.) Protože y−43−2y=−(y−4)−(3−2y)=4−y2y−3, dostáváme:
4−yy−7−4−y2y−3=0 /⋅(4−y)⟹(y−7)−(2y−3)=0⟹y−7−2y+3=0⟹−y−4=0⟹y=−4
10) Které z rovnic nemá řešení? I: 2x2−4=−4x; II: (2x−1)2=0; III: x2−1=−(x2−1).
A) I a II B) II a III C) pouze I D) pouze III E) všechny tři rovnice mají řešení
Jaro 2015, příklad č. 18. Body: 2.
Řešení: I) 2x2+4x−4=0 /:2: x2+2x−2=0, D=4+8=12>0 — 2 řešení. II) (2x−1)2=0⟹x=21 — 1 řešení. III) x2−1=−x2+1⟹2x2=2⟹x2=1⟹x=±1 — 2 řešení. Všechny tři mají řešení.
11) V oboru R řešte: 3x1−x+22=x+2x.
Podzim 2015, příklad č. 5. Body: 2. Výsledek: x=31; podmínky x=0, x=−2.
Řešení: /⋅3x(x+2): (x+2)−2⋅3x=x⋅3x⟹x+2−6x=3x2⟹0=3x2+5x−2. a=3,b=5,c=−2, D=25+24=49: x1,2=6−5±7, x1=31, x2=−2 (nevyhovuje). Řešení: x=31.
12) Je dána rovnice 2x−11=x. Do kterého intervalu patří oba kořeny?
A) ⟨−3,4;−0,6⟩ B) ⟨−1,2;0,6⟩ C) ⟨−0,9;0,9⟩ D) ⟨−0,6;1,2⟩ E) do žádného
Jaro 2016, příklad č. 22. Body: 2. Výsledek: D (kořeny x1=1, x2=−0,5); podmínky x=0,5.
Řešení: /⋅(2x−1): 1=x(2x−1)⟹0=2x2−x−1. a=2,b=−1,c=−1, D=1+8=9: x1,2=41±3, x1=1, x2=−0,5 — oba v ⟨−0,6;1,2⟩.
13) V oboru R řešte: 2x−41+x2−2x1−x=21.
Podzim 2016, příklad č. 5. Body: 3. Výsledek: x=−1; podmínky x=0, x=2.
Ještě před hledáním společného jmenovatele rozložíme (pokud lze) všechny jmenovatele na součin vytýkáním nebo pomocí vzorců: 2x−4=2(x−2), x2−2x=x(x−2).
Řešení: /⋅2x(x−2): 1⋅x+(1−x)⋅2=1⋅x(x−2)⟹x+2−2x=x2−2x⟹0=x2−x−2⟹0=(x+1)(x−2). x1=−1, x2=2 (nevyhovuje). Podmínky: 2x−4=0⟹x=2; x2−2x=0⟹x(x−2)=0⟹x=0, x=2. Výsledné podmínky: x=0, x=2. Rovnice má jediné řešení x=−1.
14) Přiřaďte ke každé rovnici a)–c) množinu všech řešení:
a) x2=−3x b) x9=x c) x−39−x2=0
Jaro 2017, příklad č. 26. Body: 3. Výsledek: a) 0;−3, b) 3;−3, c) −3.
Řešení: a) x2+3x=0⟹x(x+3)=0⟹x1=0, x2=−3.
b) /⋅x: 9=x2⟹x1=3, x2=−3 (podmínka x=0).
c) 9−x2=0⟹x2=9⟹x1=3 (nevyhovuje, x=3), x2=−3. Rovnice má jediné řešení x=−3.
15) V oboru R řešte: 2x−3=(2x−3)(2x+3).
Podzim 2017, příklad č. 6. Body: 2. Výsledek: x1=1,5, x2=−1.
Řešení: 2x−3=4x2−9⟹0=4x2−2x−6 /:2⟹0=2x2−x−3. a=2,b=−1,c=−3, D=1+24=25: x1,2=41±5, x1=1,5, x2=−1.
Příklady z testů PUP a ilustračních testů Cermatu
1p) V oboru R řešte: (2x−3x)(5−x)=0.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 9. Body: 2. Výsledek: K=0;5.
Řešení: −x(5−x)=0⟹x1=0, x2=5.
2p) V oboru R řešte: x−2x2−4=3x.
Jaro 2011 PUP, příklad č. 10. Body: 2. Výsledek: x=1; podmínky x=2.
Řešení (1. způsob): /⋅(x−2): x2−4=3x2−6x⟹0=2x2−6x+4 /:2⟹0=x2−3x+2⟹0=(x−1)(x−2). x1=1, x2=2 (nevyhovuje).
Řešení (2. způsob — chytřejší): protože x2−4=(x−2)(x+2), lze zlomek zjednodušit hned na x+2 (pro x=2): x+2=3x⟹2=2x⟹x=1.
1i) Řešte x4−x(x−3)3(x−7)=x−3x+1. a) Pro které x není rovnice definována? b) Určete množinu řešení.
2010 (1), příklad č. 8. Body: 4. Výsledek: a) x=0, x=3, b) x=−3.
Řešení: /⋅x(x−3): 4(x−3)−3(x−7)=x(x+1)⟹4x−12−3x+21=x2+x⟹9=x2⟹x1=3 (nevyhovuje), x2=−3. Rovnice má jediné řešení x=−3; podmínky (kde není definována): x=0, x=3.
2i) V R řešte (2x−3)2−x2=0. Které tvrzení je pravdivé?
A) Rovnice má právě jedno řešení. B) Hodnoty obou kořenů se liší o 2. C) Kořeny jsou opačná nenulová čísla. D) Žádné z A–C.
2010 (1), příklad č. 13. Body: 3. Výsledek: B (x1=1, x2=3).
Řešení: 4x2−12x+9−x2=0⟹3x2−12x+9=0 /:3⟹x2−4x+3=0⟹(x−1)(x−3)=0⟹x1=1, x2=3 (liší se o 2).
3i) Jedním z kořenů rovnice (x−2)+(x+2)(x−2)=0 je x=2. Vypočtěte druhý kořen.
2013, příklad č. 7. Body: 1. Výsledek: x2=−3.
Řešení (1. způsob): x−2+x2−4=0⟹x2+x−6=0⟹(x−2)(x+3)=0⟹x1=2, x2=−3.
Řešení (2. způsob — vytknutí (x−2)): (x−2)⋅[1+(x+2)]=0⟹(x−2)(x+3)=0⟹x2=−3.
4i) Přiřaďte úloze 2−x(x−2)2=0 odpovídající řešení:
A) ∅ B) R C–F) (nedochováno)
2014 (1), příklad č. 25.1. Body: 1. Výsledek: A; podmínky x=2.
Řešení: /⋅(2−x): (x−2)2=0⟹x=2 — nevyhovuje podmínkám (x=2). Rovnice nemá řešení, K=∅.
5i) V oboru R řešte rovnici 1=12x+9(2x−3)2.
2014 (2), příklad č. 7. Body: 2. Výsledek: K=0;6; podmínky x=−43.
Řešení: /⋅(12x+9): 12x+9=(2x−3)2⟹12x+9=4x2−12x+9⟹0=4x2−24x /:4⟹0=x2−6x⟹0=x(x−6)⟹x1=0, x2=6. Podmínky: 12x+9=0⟹x=−43 (obě řešení vyhovují).
Zdroje
MATURITA HADR / Matematika / řešené postupy matematických okruhů z DT 2010–2017, dokument 14) Kvadratická rovnice.pdf.